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Misura del periodo di un pendolo

pendolo (9K)

Come fu scoperto da Galileo Galilei agli inizi del XVII secolo, le piccole oscillazioni di un pendolo sono isocrone, cioè, indipendentemente dalla loro ampiezza, impiegano sempre lo stesso intervallo di tempo per compiere una oscillazione completa (andata e ritorno). Questo intervallo di tempo viene chiamato periodo.

Scopo dell'esperienza: Misura del periodo di un pendolo.

Strumento di misura: Cronometro manuale di sensibilità 0.1 s

Metodo di misura: Si lascia oscillare il pendolo e si misura con il cronometro la durata di 10 oscillazioni. Operiamo in questo modo perchè la durata di una singola oscillazione è generalmente dell'ordine di un secondo e l'incertezza sperimentale risulterebbe troppo pesante in percentuale. Misurando la durata di 10 oscillazioni si diminuisce l'incertezza e si aumenta la sensibilità della misura di un fattore 10.
Per le grandezze considerate finora è bastata una singola misurazione. In questa esperienza è naturale pensare ad ulteriori controlli della misura perchè ci aspettiamo una forte influenza di incertezze casuali di varia natura, come i tempi di reazione sia al momento del via che al momento di bloccare il cronometro; inoltre una singola misura può essere anche del tutto inattendibile se l'operatore manca di un minimo di esperienza. Sembra logico ripetere la stessa misura più volte, sempre nelle stesse condizioni.

Dati sperimentali (un esempio)
I risultati delle misure sono raccolti in una tabella di frequenze e visualizzati in un diagramma a barre.
Durata di 10 oscillazioni (s)Frequenza assoluta
13,51
14,41
15,41
15,56
15,66
15,77
15,91
periodo_pendolo (21K)

Se le misure fossero state più numerose e più varie, sarebbe convenuto raggrupparle in classi (ad esempio da 13,0 s a 13,4 s, da 13.5 s a 14.0 ecc..) in modo da ottenere una rappresentazione grafica più compatta. Come si poteva prevedere, i risultati sono diversi tra loro per la presenza di incertezze sperimentali maggiori di quelle dovute alla sensibilità. Infatti il campo di variabilità delle misure va da 13.5 a 15.9 s ed è quindi maggiore dell'intervallo ottenuto con una misura singola.
Come trattare i molti dati sperimentali ottenuti da misure ripetute in modo da ottenere un unico risultato della misura? Il metodo migliore e più intuitivo per ottenere un unico valore dai 23 risultati è quello di valutarne la media aritmetica, cioè calcolare la somma dei valori rilevati e dividerla per il numero delle rilevazioni. Si ottiene:

Durata di 10 oscillazioni (valor medio) = 15,46 s ~ 15,5 s

Il valore medio deve essere sempre arrotondato coerentemente con i risultati sperimentali, in questo caso alla prima cifra decimale. Per valutare l'entità dell'incertezza assoluta su questa misura, occorre individuare un opportuno indice di variabilità della serie di risultati ottenuti.

Una prima valutazione può essere data dalla dispersione dei risultati, cioè dalla differenza tra il valore massimo ed il valore minimo ottenuto. Con i risultati della tabella si ha una semidispersione (0,4 s). Questo indice è però fortemente influenzato dai limiti estremi dei risultati più che da quelli intermedi, che sono più significativi.
Una migliore valutazione si ottiene calcolando, per ogni misura, lo scarto (cioè la differenza) dal valor medio e poi facendo la media (quadratica) degli scarti.
Aggiorniamo quindi la tabella di frequenza, calcolando gli scarti con una cifra decimale in più per una maggiore precisione di calcolo. Le tabelle possono essere elaborate con un foglio elettronico.

Durata di 10 oscillazioni (s)Scarto (s)Frequenza assoluta
13,5-2,01
14,4-1,11
15,4-0,11
15,506
15,60,16
15,70,27
15,90,41
Media aritmetica 15,5Media aritmetica 0
Media quadratica 0,5

Come si vede, la media aritmetica degli scarti si annulla perchè determinata da valori simmetrici positivi e negativi che si neutralizzano a vicenda. Quando si ha a che fare con dati positivi e negativi la media più significativa è quella quadratica.
Lo scarto quadratico medio o deviazione standard (simbolo σ) si ottiene facendo la media dei quadrati degli scarti (detta varianza) ed estraendone la radice quadrata. Il calcolo può essere automatizzato con una semplice calcolatrice scientifica dotata di funzioni statistiche o, meglio, con un foglio elettronico.

Ricapitoliamo: Le misure ripetute di tempo hanno fornito un insieme di 23 misure, ciascuna con una sensibilità di 0.1 s. La trattazione delle misure ripetute ha fornito un valor medio di 15.5 s con deviazione standard σ = 0,5 s. Poichè σ è maggiore dell'incertezza dovuta alla sensibilità, si assume quest'ultimo parametro come incertezza assoluta della misura.

Risultato della misura:

Durata di 10 oscillazioni = (15,5 ± 0,5) s
Periodo = (1,55 ± 0,05) s con incertezza relativa del 3%