Laboratorio

Propagazione delle incertezze

Come abbiamo visto, ad ogni misura bisogna associare una incertezza sperimentale. Come si trattano queste incertezze quando si fanno dei calcoli con le misure?

Consideriamo per prima cosa la somma e la differenza di misure omogenee.

Devi misurare la lunghezza di un tavolo e hai a disposizione un righello di 50 cm più corto del tavolo. Cosa fai?

Naturalmente riporti il righello più volte con attenzione e sommi i risultati parziali. Supponiamo che la lunghezza L del tavolo sia data dalla somma di due addendi:

L = L1 + L2 = 50 cm + 42 cm = 92 cm

Ognuna delle due misure parziali ha però una sua incertezza sperimentale che, in un comune righello, si può assumere di 1 mm

L1 = (50,0 ± 0,1) cm

L2 = (42,0 ± 0,1) cm

Qual è l'incertezza da associare alla somma?

Con le incertezze sperimentali bisogna porsi nella posizione peggiore, cioè nella situazione in cui gli errori non si compensino, ma siano tutti e due per difetto o per eccesso. In altre parole bisogna sommare le incertezze assolute.

Il risultato della misura è pertanto:

L = L1 + L2 = (92,0 ± 0,2) cm

Lo stesso ragionamento vale nel caso di una differenza: le incertezze assolute vanno sommate.

D = L1 - L2 = (8,0 ± 0,2) cm

Osserva come si comporta l'incertezza relativa nelle somme e nelle differenze:

GrandezzaValore medioIncertezza assolutaIncertezza relativa
L150,0 cm0,1 cm0,2%
L242,0 cm0,1 cm0,24%
L = L1 + L292,0 cm0,2 cm0,22%
D = L1 - L28,0 cm0,2 cm2,5%

Bisogna fare attenzione con le misure indirette date da una differenza di misura: l'incertezza relativa aumenta in modo considerevole!

Consideriamo ora la propagazione delle incertezze nei prodotti e nei quozienti.

  • Devi misurare la superficie S di un foglio A4 tramite la misura diretta dei due lati a = 297 mm e b = 210 mm
  • Devi misurare la velocità media v di un oggetto tramite la misura diretta dello spazio percorso s = 20 m e dell'intervallo di tempo corrispondente t = 5 s
  • Naturalmente i risultati medi (senza la valutazione delle incertezze) sono:

    S = a b = 62 370 mm2

    v = s / t = 4 m/s

    Osserva ora le misure dirette con le loro incertezze assolute.

    GrandezzaValore medioIncertezza assolutaIncertezza relativa
    a297 mm1 mm0,34%
    b210 mm1 mm0,48%
    s20,0 m0,1 m0,5%
    t5,0 s0,1 s2%

    Ogni lato del foglio ha un valore compreso tra un minimo e un massimo. Possiamo utilizzarli per calcolare i valori minimo e massimo della superficie.
    Smin = 296 mm * 209 mm = 61 864 mm2
    Smax = 298 mm * 211 mm = 62 878 mm2

    L'incertezza assoluta sulla misura della superficie S si ottiene dalla semidifferenza tra Smax e Smin

    S = (62 370 ± 507) mm2

    In modo analogo il valore minimo della velocità si ottiene con il minimo spazio e il massimo intervallo di tempo, il valore massimo della velocità si ottiene con il massimo spazio e il minimo intervallo di tempo.
    vmin = 19,9 m /5,1 s = 3,9 m/s
    Smax = 20,1 m / 4,9 s = 4,1 m/s

    L'incertezza assoluta sulla misura della velocità v dalla semidifferenza tra vmax e vmin

    v = (4,0 ± 0,1) m/s

    Osserva:

    GrandezzaValore medioIncertezza assolutaIncertezza relativa
    a297 mm1 mm0,34%
    b210 mm1 mm0,48%
    S = ab62 370 mm2507 mm20,81%
    s20,0 m0,1 m0,5%
    t5,0 s0,1 s2%
    v4,0 m/s0,1 m/s2,5%

    L'incertezza relativa nelle misure indirette ottenute come prodotti o quozienti è bene approssimata dalla somma delle incertezze relative delle misure dirette. L'approssimazione è tanto migliore quanto minori sono le incertezze. Puoi fare delle prove con il foglio elettronico per rendertene conto.

    Riassumiamo

    Nelle misure indirette ottenute con somme e differenze si sommano le incertezze assolute

    Nelle misure indirette ottenute con prodotti e quozienti si sommano le incertezze relative


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