I vettori

Grandezze scalari e vettoriali

La distanza tra Roma e Milano è di 600 km. Se parto da Roma e percorro 600 km mi troverò a Milano?

Mentre la distanza tra due punti o la lunghezza di un oggetto è completamente definita da un numero e dalla sua unità di misura, una grandezza come lo spostamento ha bisogno di ulteriori informazioni. E' facile capire che percorrendo 600 km da Roma in linea retta ci si può trovare in qualsiasi punto di una circonferenza di centro Roma e raggio 600 km. Il motivo è che lo spostamento è una grandezza vettoriale, mentre la distanza è una grandezza scalare.

Una grandezza scalare è completamente definita dalla sua misura (con l'unità di misura). Ecco alcuni esempi di scalari:

La somma di grandezze scalari (omogenee) si esegue come la normale somma tra numeri reali:

distanza1 = 3,1 m
distanza2 = 5,7 m
distanza1 + distanza2 = 8,8 m.

Una grandezza vettoriale ha bisogno di più informazioni per essere definita. Ecco alcuni esempi di vettori:

Generalmente le tre informazioni che individuano un vettore nello spazio tridimensionale sono:

I vettori, utile strumento matematico per trattare queste grandezze, sono rappresentati da segmenti orientati che visualizzano in modo grafico le tre informazioni.

Il punto indicato dalla freccia si chiama punta del vettore, il punto iniziale si chiama coda del vettore.

Per esempio, uno spostamento di 20 m verso Est sarà visualizzato da un segmento con lunghezza proporzionale a 20 m (basta scegliere una opportuna scala), parallelo alla direzione Est-Ovest e con punta rivolta a Est.

Segmenti orientati con lo stesso modulo, stessa direzione e stesso verso rappresentano lo stesso vettore.
Quali tra i seguenti segmenti orientati sono rappresentanti dello stesso vettore? equipollenti (10K)

a, b
a, d
a, e
a, b, e
a, b, d, e

polare (7K)

Per individuare un vettore nel piano bastano due informazioni. Queste possono essere:

Queste due informazioni si chiamano coordinate polari del vettore nel piano.

Usualmente gli angoli si misurano immaginando una rotazione antioraria a partire dall'angolo nullo. Si noti che le direzioni con un angolo maggiore dell'angolo piatto possono essere più facilmente individuate da un angolo negativo (cioè contato in senso orario invece che in senso antiorario).

Esempi di grandezze vettoriali del piano individuate da coordinate polari:
v1 (10 m, 30°)
v2 (3 N, 0°)
v3 (5 m/s, 90°)