I vettori

Seno, coseno, tangente di un angolo

cartesiane (16K)

Le cordinate polari (modulo e argomento) non sono l'unico modo per individuare un vettore nel piano. Osserva il vettore v qui accanto rappresentato in un piano cartesiano: esso ha modulo 5 (in unità di misura arbitrarie) e argomento 30°.
Può essere individuato da coordinate diverse da quelle polari?

Un vettore v in un piano cartesiano è univocamente determinato anche dalle coordinate cartesiane ottenute proiettando il segmento orientato che rappresenta il vettore sull'asse x e sull'asse y. La misura delle due coordinate cartesiane fornisce vx = 4,3 e vy = 2,5

Il vettore v può allora essere individuato dalle coordinate

Se si conoscono le coordinate polari, si possono ricavare e coordinate cartesiane e viceversa. A questo punto c'è bisogno di introdurre un minimo di nozioni di goniometria.

triangolo (11K)

Consideriamo uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, per esempio l'angolo β opposto al cateto b. Si definisce:

seno dell'angolo βil rapporto tra cateto opposto b e ipotenusa asen β = b / a
coseno dell'angolo βil rapporto tra cateto adiacente c e ipotenusa acos β = c / a
tangente dell'angolo βil rapporto tra cateto opposto b e cateto adiacente ctg β = b / c

Qualche osservazione:

Apri un foglio di calcolo elettronico e costruisci la tabella per seno, coseno e tangente per angoli compresi tra -180° e 180°. Attenzione: le funzioni goniometriche sono calcolate automaticamente se l'angolo piano è espresso in radianti.
Per convertire un angolo da gradi in radianti usa la formula =radianti()

Ecco i valori relativi a qualche angolo e l'andamento grafico delle tre funzioni:

angolo in gradiangolo in radiantisenocosenotangente
0010
30°0,520,50,870,58
45°0,790,710,711
60°1,050,870,51,73
90°1,5711--
180°3,140-10
sinusoidi (54K)

Si noti che seno e coseno hanno valori sempre compresi tra 1 e -1. La curva disegnata da queste funzioni si chiama sinusoide. La tangente invece non è definita per angoli retti (perché?) ed ha valori illimitati.

Con la calcolatrice o con il foglio elettronico puoi verificare che angoli diversi che differiscono di un angolo giro (come -90° e 270°) hanno gli stessi valori di seno, coseno e tangente.