Cinematica

Accelerazione

Achille e la Tartaruga corrono ancora una terza gara rappresentata dal seguente grafico, sul solito tratto rettilineo di 100 m. Quali informazioni puoi trarne?
gara3 (45K)

Questa volta la posizione della Tartaruga rimane immutata per oltre 10 s. La Tartaruga è rimasta ferma (cioè con velocità 0) per la maggior parte del tempo e si è mossa verso la fine con una velocità abbastanza bassa, come si vede dalla pendenza della seconda parte del grafico. Achille ha un grafico abbastanza regolare, ma non lineare. (Ricorda che la traiettoria è comunque rettilinea!). Possiamo notare che la curva aumenta via via la sua pendenza, segno che Achille ha aumentato la sua velocità con una progressione costante. In questa gara Achille non si muove di moto uniforme, ma una velocità che varia continuamente, aumentando da un istante all'altro. La velocità media di Achille si calcola facilmente: avendo percorso 100 m in 20 s, la velocità media vale 5 m/s.

Ecco la tabella oraria allegata al grafico di Achille. Cerca di trovare la legge che lega spazio e tempo.
tempo (s)Posizione Achille (m)
00
21
44
69
816
1025
1236

La legge naturalmente non è una legge lineare, cioè non c'è una diretta proporzionalità tra spazio e tempo. Riesci a vedere una proporzionalità tra spazio e quadrato dei tempi? Qui sotto puoi vedere la tabella ottenuta sostituendo ad ogni valore del tempo il suo quadrato

tempo2 (s2)Posizione Achille (m)
00
41
164
369
6416
10025
14436

Ora si vede più chiaramente che ogni valore di posizione è la quarta parte del quadrato del tempo. Questo tipo di correlazione tra spazio e tempo è detta parabolica, perché la sua rappresentazione grafica è una parabola. Nel caso in esame, la legge oraria è (con s in metri e t in secondi):

s(t) = 0,25 t2

Il valore 0,25 non ha dimensioni fisiche di una velocità, ma di [lunghezza]*[tempo]-2. Vediamo ora qual è il suo significato fisico, determinando come varia la velocità di Achille nel tempo: calcoliamo alcune velocità intermedie nel moto di Achille per successivi intervalli di tempo di 2 s.

Punto inizialePunto finaleVelocità (Δs /Δt)
0;02 s; 1 m0,5 m/s
2 s; 1 m4 s; 4 m1,5 m/s
4 s; 4 m6 s; 9 m2,5 m/s
6 s; 9 m8 s; 16 m3,5 m/s
8 s; 16 m10 s; 25 m5,5 m/s

La velocità di Achille aumenta in modo costante; ha una variazione regolare Δv = +1 m/s per ogni intervallo di tempo Δt =2 s

Si chiama accelerazione media in un dato intervallo di tempo il rapporto:

a = Δv / Δt

Achille ha una accelerazione costante a = 1 m/s /2 s = 0,5 m/s2

L'accelerazione è una nuova grandezza fisica con dimensioni: [accelerazione] = [lunghezza]*[tempo]-2. L'unità di misura dell'accelerazione nel SI è quindi il m/s2. Un moto con accelerazione costante si dice moto uniformemente accelerato. Anche l'accelerazione è una grandezza vettoriale, ma in un moto in una dimensione essa è completamente descritta da una sola coordinata.

Se riprendiamo la legge oraria del moto di Achille (s = 0,25 t2 ), notiamo che il coefficiente numerico è la metà del valore dell'accelerazione. Questo non è casuale. La legge oraria del moto uniformante accelerato (nel caso in cui la posizione iniziale e la velocità iniziale siano entrambe nulle) è infatti:

s(t) = ½ a t2