Gravitazione

Orbite circolari

Che velocità deve avere un satellite per descrivere un'orbita perfettamente circolare ad una quota di 230 km rispetto alla superficie della Terra?
Dati del problemaRichieste
M = 6 1024 kgmassa della Terravvelocità per un'orbita circolare
R = 6380 kmraggio terrestre
h = 230 kmquota del satellite rispetto alla superficie della Terra
mmassa del satellite

Un satellite può orbitare intorno alla Terra a varie quote (la quota è la distanza dalla superficie della Terra). Per ogni quota esiste un determinato valore della velocità di fuga, indipendente dalla massa del corpo. Se il satellite ha velocità inferiore alla velocità di fuga, esso orbiterà intorno alla Terra percorrendo un'orbita ellittica (oppure cadrà sulla Terra).

Per avere un'orbita perfettamente circolare (ellisse di eccentricità 0) di raggio r, la forza gravitazionale deve fornire la forza centripeta necessaria per fare una curva di raggio r

G M m / r2 = m v2 / r

risolvendo rispetto a v si ha:

v = (G M / r)1/2 velocità corrispondente a un'orbita circolare di raggio r

La velocità di un'orbita circolare è naturalmente minore della velocità di fuga (di un fattore radice di 2). Per ogni quota esiste un solo valore della velocità corrispondente ad un'orbita circolare.

La velocità del satellite in oggetto si calcola considerando che il raggio dell'orbita è r = R + h. Con i valori dati si ha: v = 7,8 km/s

Quanto vale l'energia meccanica totale del satellite del problema precedente, sapendo che la sua massa è di 1000 kg?
Dati del problemaRichieste
M = 6 1024 kgmassa della TerraEenergia meccanica del satellite
R = 6380 kmraggio terrestre
h = 230 kmquota del satellite rispetto alla superficie della Terra
m = 1000 kgmassa del satellite
v = 7,8 km/svelocità del satellite

L'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica K del satellite (rispetto alla Terra) e dell'energia potenziale gravitazionale U del sistema satellite + Terra

E = K + U = 1/2 m v2 - G M m / r

Sostituendo alla velocità v l'espressione trovata per un'orbita circolare, si ha:

E = 1/2 G M m / r - G M m / r = -1/2 G M m / r = -60 000 MJ

E (orbita circolare) = -1/2 G M m / r

L'energia meccanica del satellite è negativa perché il satellite si trova in uno stato legato.

eccentricita (13K)

L'espressione dell'energia totale per un'orbita circolare rimane valida anche per un'orbita ellittica se al raggio r si sostituisce il semiasse maggiore a dell'ellisse

E (orbita ellittica)= - 1/2 G M m / a

A parità di semiasse maggiore, si possono disegnare ellissi di diversa eccentricità, ma l'energia totale di un satellite dipende esclusivamente dal valore del semiasse maggiore e non dall'eccentricità.