Leggi di conservazione

Conservazione dell'energia meccanica 2

molla (37K)

La forza di richiamo è una forza conservativa: questo significa che un corpo che è soggetto solo alla forza di richiamo (quindi senza attriti e resistenze del mezzo) conserva l'energia meccanica totale, cioè la somma dell'energia cinetica K e dell'energia potenziale Ug. Possiamo scrivere la legge di conservazione dell'energia meccanica dell'oscillatore, esplicitando le espressioni di K in funzione della massa m e della velocità v del corpo e di U in funzione della costante elastica k e della posizione x:

E = K + Ug = 1/2 m v2 + 1/2 k x2 = costante

Quando la massa che oscilla transita per il punto di equilibrio (x = 0), la sua velocità è massima ed è quindi massima anche l'energia cinetica, mentre l'energia potenziale è nulla. Nelle due posizioni di spostamento massimo (x = |A|), la massa oscillante avrà energia potenziale massima ed energia cinetica nulla.

Riassumiamo con uno schema:

PosizioneForzaAccelerazioneVelocitàEnergia cineticaEnergia potenziale
x = Amax (in modulo)max (in modulo)nullanullamassima
x = 0nullanullamax (in modulo)maxnulla
x = -Amax (in modulo)max (in modulo)nullanullamassima
Calcola l'energia meccanica totale di un sistema oscillante con costante elastica 100 N/m e ampiezza di oscillazione 5 cm.
Dati del problemaRichieste
k = 100 N/mcostante elasticaEenergia meccanica totale del sistema
A = 5 cm = 5 10-2 mampiezza del moto

Nei punti di massimo spostamento (x = |A|), l'energia meccanica è solo potenziale e quindi è possibile calcolarne il valore: E = 1/2 k A2

Il valore dell'energia meccanica totale è determinato dalla costante elastica e dall'ampiezza del moto. Nel caso in esame si ottiene: E = 1/2 100 (5 10-2)2 J = 0,125 J

carrellino (18K)
Un carrellino di 100 g è lanciato con velocità 7 m/s sul percorso rappresentato nel disegno, caratterizzato da una salita AB e da un tratto piano che termina nel punto C con una molla fissata al muro. La posizione B si trova ad una quota di 2 m rispetto ad A. Tutto il percorso ha attrito trascurabile. Determina se il carrellino riesce a raggiungere la posizione B e, in caso favorevole, di quanto comprime la molla C che ha costante elastica 200 N/m.
Dati del problemaRichieste
m = 100 g = 0,1 kgmassa del carrelloraggiunge il punto B?
vA = 7 m/svelocità del carrello nel punto Axcompressione della molla C
hB = 2 m quota di B rispetto ad A
k = 200 N/m costante elastica della molla C

L'energia meccanica E di un corpo come il carrello del problema è la somma dell'energia cinetica K, dell'energia potenziale gravitazionale Ug e della potenziale elastica Ue. Se le forze che agiscono sono conservative vale la

Legge di conservazione dell'energia meccanica
E = K + Ug + Ue = costante

Questo significa che l'energia meccanica nella posizione A deve essere uguale all'energia meccanica nella posizione B e nella posizione C (carrello fermo con molla compressa di x): E(A) = E(B) = E(C)

Assumendo il punto A come livello 0 per l'energia potenziale gravitazionale, in questa posizione l'energia meccanica del carrellino è solo cinetica e vale E = 1/2 m vA2 = 2,45 J.

Il carrello ce la fa a fare la salita se l'energia in A è sufficiente (cioè maggiore o uguale) all'energia potenziale gravitazionale necessaria per arrivare nel punto B, cioè se:

1/2 m vA2 ≥ m g hB

2,45 J ≥ 1,96 J ---> VERO La condizione è soddisfatta: il carrello riesce ad arrivare sul punto B trasformando parte dell'energia cinetica in potenziale gravitazionale con un residuo di 0,49 J di energia cinetica. La risposta alla prima domanda è pertanto SI.

Ricapitolando l'energia meccanica del carrello è:

1/2 m vA2 = m g hB + 1/2 m vB2 = m g hC + 1/2 k x2 = 2,45 J

Nella compressione della molla l'energia potenziale gravitazionale rimane costante, mentre quella cinetica si trasforma tutta in energia elastica. Quindi Ue = 1/2 k x2 = 0,49 J

Dall'ultima relazione si ottiene la compressione x della molla:

x = (2 Ue / k)1/2 = 7 cm

In assenza di forze dissipative (= non conservative), il processo continua con una trasformazione successiva di energia potenziale elastica in cinetica e poi di energia potenziale gravitazionale ancora in cinetica fino a raggiungere la posizione A con velocità opposta a quella iniziale.