Fenomeni ondulatori

Energia nel moto armonico

La forza di richiamo è una forza conservativa: questo significa che un corpo che è soggetto solo alla forza di richiamo (quindi senza attriti e resistenze del mezzo) conserva l'energia meccanica totale, cioè la somma dell'energia cinetica K e dell'energia potenziale U. L'energia potenziale U di una massa m sottoposta ad una forza di richiamo di costante k, è data dal lavoro fatto dalla forza per portare il corpo da una posizione x alla posizione di equilibrio, considerando il punto di equilibrio come livello 0 dell'energia potenziale.

U (x) = 1/2 k x2

Quale, fra le seguenti affermazioni, è corretta?
  1. L'energia potenziale è massima agli estremi dell'oscillazione e minima nel punto di equilibrio
  2. L'energia potenziale è minima agli estremi dell'oscillazione e massima nel punto di equilibrio
  3. L'energia cinetica è massima agli estremi dell'oscillazione e minima nel punto di equilibrio

Possiamo scrivere la legge di conservazione dell'energia meccanica, esplicitando le espressioni di K in funzione della massa m e della velocità v del corpo e di U in funzione della costante elastica k e della posizione x:

E = K + U = 1/2 m v2 + 1/2 k x2 = costante

Quando la massa che oscilla transita per il punto di equilibrio (x = 0), la sua velocità è massima ed è quindi massima anche l'energia cinetica, mentre l'energia potenziale è nulla. Nelle due posizioni di spostamento massimo (x = |A|), la massa oscillante avrà energia potenziale massima ed energia cinetica nulla. Riassumiamo con uno schema:

PosizioneForzaAccelerazioneVelocitàEnergia cineticaEnergia potenziale
x = Amax (in modulo)max (in modulo)nullanullamassima
x = 0nullanullamax (in modulo)maxnulla
x = -Amax (in modulo)max (in modulo)nullanullamassima
Calcola l'energia meccanica totale di un sistema oscillante con costante elastica 100 N/m e ampiezza di oscillazione 5 cm.
Dati del problemaRichieste
k = 100 N/mcostante elasticaEenergia meccanica totale del sistema
A = 5 cm = 5 10-2 mampiezza del moto

Nei punti di massimo spostamento (x = |A|), l'energia meccanica è solo potenziale e quindi è possibile calcolarne il valore: E = 1/2 k A2

Il valore dell'energia meccanica totale è determinato quindi dalla costante elastica e dall'ampiezza del moto. Nel caso in esame si ottiene: E = 0,125 J

Velocità nel moto armonico

Un oscillatore armonico possiede una frequenza di vibrazione di 15 Hz ed una ampiezza di 2 cm. Determina il valore della velocità massima del sistema.
Dati del problemaRichieste
f = 100 Hzfrequenza del moto armonicovmaxvelocità massima
A = 2 cm = 2 10-2 mampiezza del'oscillazione

La posizione in cui il sistema ha velocità massima è la posizione centrale di equilibrio (x = 0) in cui la massa transita sia con velocità massima in andata e in ritorno. Applichiamo il principio di conservazione dell'energia meccanica confrontando il punto di equilibrio, in cui l'energia è solo cinetica, (E = 1/2 m vmax2) con uno dei punti estremi, in cui l'energia è solo potenziale (E = 1/2 k A2):

1/2 m vmax2 = 1/2 k A2

Risolvendo rispetto a vmax (in valore assoluto) e ricordando che formula_pulsazione (1K), si ottiene:

vmax = ω A

La velocità massima è legata alla pulsazione e quindi alla frequenza f di vibrazione. Con i dati del problema si ottiene: vmax = ω A = 2 π f A = 12,57 m/s

Nel moto armonico la velocità oscilla da 0 (agli estremi) fino ad un valore massimo assoluto ω2 A (positivo o negativo nel centro dell'oscillazione). L'oscillazione della velocità è quindi sfasata di 1/4 di periodo rispetto allo spostamento x.

L'espressione della velocità in funzione del tempo può essere espressa con una funzione sinusoidale:

v (t) = -ω A sen (ω t + φ0)

La funzione seno ha lo stesso periodo del coseno, ma è sfasata di 1/4 di periodo rispetto ad esso. Il segno - ci dice che la velocità è negativa quando il seno è positivo e positiva quando il seno è negativo.

Grandezze oscillanti nel moto amonico:

PosizioneForzaVelocità
x (t)= A cos (ω t + φ0)F (t) = - k x (t) = - k A cos (ω t + φ0)v (t) = -ω A sen (ω t + φ0)
grandezze_oscillanti (32K)