Gravitazione

Le leggi di Keplero

Legge delle orbite

La legge di Newton sulla gravitazione universale è una legge dinamica; prima di Newton la cinematica del moto dei pianeti era stata descritta da Giovanni Keplero (1571-1630) che aveva compendiato le innumerevoli osservazioni sulla posizione dei pianeti fatte da molti astronomi , tra cui Tycho Brahe (1546-1601), in tre leggi empiriche.

L'Universo di Keplero è eliocentrico, cioè considera il Sole immobile e i pianeti che ruotano intorno ad esso, ma la posizione del Sole non è più centrale e le orbite dei pianeti non sono perfettamente circolari.

In questo sito puoi provare una simulazione sulle leggi di Keplero.

keplero1 (6K)

La prima legge riguarda la forma dell'orbita descritta dai pianeti intorno al Sole:

I pianeti si muovono intorno al Sole percorrendo orbite ellittiche. Il Sole occupa uno dei fuochi dell'ellisse.

Keplero è stato il primo a parlare di orbite ellittiche. Prima di lui non ci si era mai allontanati dal concetto di traiettoria circolare. La perfezione del moto dei corpi celesti era infatti simboleggiata dal cerchio.

La prima legge di Keplero è dimostrabile, come le altre tre, a partire dalla legge di gravitazione universale: questa prevede, matematicamente, che la traiettoria di un corpo sottoposto ad una forza centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza sia una conica e l'ellisse è una conica.

Legge delle aree

ksl (9K) keplero2 (11K)

La seconda legge di Keplero tratta della velocità con cui i pianeti percorrono l'orbita:

Il raggio vettore che collega un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali.

Questa legge dice che il moto del pianeta non è uniforme: la velocità del pianeta varia con la distanza dal Sole: essa aumenta quando il pianeta si avvicina al Sole e diminuisce quando se ne allontana. La II legge di Keplero esprime, con altre parole, un'altra legge di conservazione, quella del momento angolare.

Si definisce momento angolare L un vettore che ha come modulo il prodotto del modulo m v della quantità di moto del satellite per la distanza r del pianeta dal Sole.

L = m v r

La conservazione del momento angolare implica che, quando la distanza r dal Sole diminuisce, aumenta la velocità v del pianeta e viceversa. Nel punto più vicino al Sole (perielio) la velocità è massima, nel punto più lontano dal Sole (afelio) la velocità è minima.

Legge dei periodi

La distanza media della Terra dal Sole si chiama unità astronomica (simbolo UA). Sapendo che Marte ruota intorno al Sole con una distanza media di 1,52 UA, quanti anni terrestri impiega Marte a compiere la sua rivoluzione intorno al Sole?
Dati del problemaRichieste
Rt = 1 UAdistanza media Terra -SoleTmperiodo di rivoluzione di Marte
Rm = 1,52 UAdistanza media Marte-Sole
Tt = 1 annoperiodo di rivoluzione della Terra

Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione tra periodo di rivoluzione e distanza dal Sole e, solo dopo molti anni, riuscì a determinare il legame corretto in accordo con i dati sperimentali:

Per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo di rivoluzione T è proporzionale al cubo della distanza media R del pianeta dal Sole.
T2 / R3 = costante

Il problema iniziale si risolve applicando la III legge di Keplero e considerando che sia la Terra, sia Marte ruotano intorno al Sole:

Tt2 / Rt3 = Tm2 / Rm3 quindi Tm2 = Tt2 (Rm / Rt)3

Sostituendo i dati, si ha: Tm = 1 anno (1,52 UA / 1 UA)3/2 = 1,87 anni

La legge di gravitazione universale di Newton ha dato in seguito un supporto teorico alle leggi empiriche di Keplero: Diamo una dimostrazione della terza legge nel caso particolare di orbita perfettamente circolare (la circonferenza può essere considerata un caso particolare di ellisse con eccentricità 0).

Sia m la massa di un pianeta che orbita intorno al Sole (di massa M). Se l'orbita è circolare, sono costanti sia R (distanza del pianeta dal Sole), sia il modulo v della velocità del pianeta, inoltre la forza gravitazionale fornisce esattamente la forza centripeta necessaria a fare una curva di raggio R.

G M m / R2 = m v2 / R

Dividendo tutto per m e sapendo che v = 2 π R / T, si ottiene:

G M / R2 = 4 π2 R / T2 e quindi T2 / R3 = G M / 4 π2 = costante

Come si vede la costante di proporzionalità dipende dalla massa M del corpo centrale che nel nostro caso è il Sole. La stessa legge, con diverso valore della costante di proporzionalità, si applica anche ad altri sistemi gravitazionali, come i satelliti che ruotano intorno ad un pianeta.