Leggi di conservazione

Energia potenziale elastica

Analizziamo ora il moto di un corpo sottoposto ad un altro tipo di forza conservativa: la forza elastica di richiamo di una molla: per deformare una molla di costante elastica k di una quantità x (sia in allungamento, sia in contrazione) bisogna esercitare una forza contro quella elastica di richiamo che tende a riportare la molla stessa in condizioni non deformate.

Una molla non deformata (x = 0) si dice in posizione di equilibrio. La forza elastica di richiamo è sempre diretta verso la posizione di equilibrio (è quindi una forza centripeta) ed è uguale e contraria alla forza impiegata per la deformazione (determinata dalla legge di Hooke)

Forza per deformare una molla  F = k x

Forza di richiamo della molla  F = - k x

Attenzione: Il segno - non significa che la forza di richiamo è sempre negativa, ma che è opposta alla deformazione x.

lavoro_molla (18K)
Osservando il grafico, determina il valore della costante elastica k e calcola il lavoro impiegato per allungare la molla da 0 a 8 mm. Calcola il lavoro corrispondente della forza di richiamo.

Come abbiamo visto, il lavoro fatto per deformare una molla si può determinare in modo grafico. Osservando la scala del grafico si può constatare che la costante elastica della molla vale: k = 1 N /mm = 1000 N/m

Il lavoro si calcola dall'area sotto il grafico oppure dalla relazione: W = 1/2 k x2

Chi deforma la molla fa un lavoro positivo di 32 mJ, la forza di richiamo della molla compie invece un lavoro resistente opposto di - 32 mJ. Il lavoro totale è nullo.

molla (37K)
Immaginiamo che alla molla sia collegata una massa m. Dopo aver deformato la molla, lasciamo libera la massa di oscillare su un piano orizzontale liscio. Che lavoro farà ora la forza di richiamo?

Se la molla è lasciata libera, l'unica forza sarà quella di richiamo (supponendo trascurabili le forze d'attrito non conservative). Poichè la forza di richiamo è sempre diretta verso il centro di equilibrio, quando la massa si avvicina ad esso, il lavoro della forza di richiamo è positivo, quando se ne allontana il lavoro è negativo.

Come sappiamo, ad un lavoro positivo corrisponde un aumento di energia cinetica della massa, ad un lavoro negativo corrisponde una diminuzione di energia cinetica. Poiché la forza elastica di richiamo è una forza conservativa ogni variazione di energia cinetica sarà compensata da una variazione opposta di energia potenziale.

Una massa collegata ad una molla elastica e libera di oscillare intorno al suo punto di equilibrio si chiama oscillatore armonico.

Quando la molla è deformata, l'oscillatore armonico possiede energia potenziale perché ha la possibilità di acquistare energia cinetica sotto l'azione della forza elastica di richiamo.

L'energia potenziale associata alla forza di richiamo si dice energia potenziale elastica. L'energia potenziale elastica appartiene sia alla massa sia alla molla che è causa della forza.

Quando l'oscillatore è nella posizione di equilibrio (x = 0) l'energia potenziale elastica è nulla, quindi questa posizione viene usualmente scelta come livello zero dell'energia potenziale elastica.

Ue ( x = 0) = 0

Definiamo l'energia potenziale elastica in modo analogo a quanto fatto per l'energia potenziale gravitazionale (d'ora in poi chiameremo Ug e Ue le due forme di energia):

L'energia potenziale gravitazionale Ug è associata alla forza di gravità (conservativa) L'energia potenziale elastica Ue è associata alla forza elastica di richiamo (conservativa)
L'energia potenziale gravitazionale Ug per una massa m ad una quota h rispetto al livello zero è data dal lavoro fatto dalla forza di gravità per portare la massa dalla quota h al livello zero. L'energia potenziale elastica Ue per una massa m collegata ad una molla di costante elastica k e deformata di una quantità x è data dal lavoro fatto dalla forza di richiamo per portare la massa da x alla posizione di equilibrio.
Ug (posizione h) = m g h
Ue (posizione x) = 1/2 k x2
L'energia potenziale Ug appartiene al sistema massa + Terra L'energia potenziale Ue appartiene al sistema massa + molla
Quale, fra le seguenti affermazioni, è corretta?
  1. L'energia potenziale è massima agli estremi dell'oscillazione e minima nel punto di equilibrio
  2. L'energia potenziale è minima agli estremi dell'oscillazione e massima nel punto di equilibrio
  3. L'energia cinetica è massima agli estremi dell'oscillazione e minima nel punto di equilibrio

Trasformazioni energetiche di un oscillatore armonico ideale (senza attriti interni) di massa 1 kg e costante k = 1000 N/m che oscilla con un'ampiezza di 0,05 m intorno al punto di equilibrio.

x (m)K (J)Ue (J)E = K + Ue (J)Considerazioni
0,0501,251,25L'energia cinetica è nulla perché la massa si ferma per cambiare il verso del moto. L'energia potenziale è massima.
0,030,800,451,25L'energia è in parte cinetica, in parte potenziale.
01,2501,25Punto di equilibrio: l'energia cinetica è massima e la potenziale nulla.
-0,030,800,451,25L'energia è in parte cinetica, in parte potenziale.
-0,0501,251,25L'energia cinetica è nulla perché la massa si ferma per cambiare il verso del moto. L'energia potenziale è massima.