Relatività ristretta

A cavallo di un muone

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Il problema della dilatazione della vita media dei muoni veloci dovrebbe suscitare qualche comprensibile dubbio: come sono le cose dal punto di vista di un muone? Immaginate di cavalcare un muone come se fosse un cavallo: in questo modo siete in un sistema di riferimento solidale a tutti i muoni del vostro sciame. I muoni sono quiete rispetto a voi e la Terra, lontana 15 km, vi viene incontro ad una velocità pazzesca. La collisione avverrà fra circa 50 μs.

Ma un momento! Ora la vita media dei muone in quiete è di soli 1,5 μs. Come si può spiegare il fatto che circa il 50% dei muoni riuscirà a collidere con la Terra dal momento che il cambio del sistema di riferimento non può cambiare i fatti oggettivi?

In effetti la dilatazione del tempo porta a risultati contraddittori se non è accompagnatata da un altro aspetto della relatività: la contrazione di una distanza misurata in moto.

La distanza di 15 km dello spessore atmosferico è stata misurata da Terra, cioè da un riferimento in quiete rispetto all'atmosfera. Questo significa che , con gli strumenti adatti, si è preso nota della posizione contemporanea degli estremi x1 e x2 dello strato di atmosfera (rispetto ad un asse x prescelto) e poi si è fatta la differenza:

L0 = |x1- x2|

La lunghezza misurata L0 si dice lunghezza propria perché è misurata in quiete. Quindi lo spessore di 15 km dell'atmosfera terrestre è una lunghezza propria. Sottolineiamo il fatto che gli estremi si devono trovare simultaneamente nelle rispettive posizioni (non devono infatti cambiare posizione durante la misura): poiché la simultaneità non è un fatto assoluto, ma relativo al riferimento, e quindi questo porta a pensare che anche la misura di lunghezza dipenda dal sistema di riferimento.

Ora, se siamo a cavallo di un muone, tutta l'atmosfera terrestre di cui vorremmo misurare lo spessore, non è in quiete rispetto a noi, ma si muove a velocità prossime a quella della luce: la misura di una lunghezza fatta in moto non è una lunghezza propria.

La lunghezza di un oggetto o di uno spazio in movimento è diversa dalla misura effettuata in quiete: se l'oggetto si muove a velocità v, la lunghezza L (misurata nella stessa direzione di v) risulterà contratta rispetto alla lunghezza propria L0. La legge di contrazione delle lunghezze è analoga a quella di dilatazione dei tempi:

contrazione (1K) con β = v / c
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La contrazione è tanto maggiore quanto più grande è il valore del parametro ß di velocità.

Riesaminiamo ora il problema dei muoni in modo più completo: dal punto di vista dei muoni, lo spessore dell'atmosfera risulterà, contratto di 25 volte rispetto allo spessore proprio. La contrazione delle lunghezze è reale e valida solo per il sistema di riferimento in cui l'oggetto misurato è in moto; per ogni osservatore solidale con l'oggetto la lunghezza è la lunghezza propria, cioè la maggiore possibile.

Riferimento terrestreRiferimento muoni
Distanza misurata d0 = 15 km (distanza propria) Distanza misurata d = 0,6 km
Vita media muoni τ = 37,5 μs Vita media muoni τ0 = 1,5 μs (tempo proprio)
Tempo di percorrenza dei muoni d0/c = 50 μs Tempo di percorrenza della Terra d/c = 2 μs
Il 50% dei muoni collidono con la Terra. Il 50% dei muoni collidono con la Terra.

Riferimento bibliografico: J.Schwinger "L'eredità di Einstein" Zanichelli editore, 1992