Relatività ristretta

Orologio a luce

Due osservatori, uno nella stazione S e l'altro su un treno superveloce S' che si muove a velocità v rispetto alle rotaie, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cioè la separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento. Essi utilizzano un orologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente ad una distanza nota d: un raggio luminoso che si muove lungo l'asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi ed il tempo occorrente per l'andata ed il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce il periodo dell'orologio.

orologio_luce (13K) Il periodo dell'orologio misurato da un osservatore in quiete rispetto all'orologio è:
T0 = 2 d / c
L'intervallo di tempo T0 rappresenta la separazione temporale tra due eventi: la partenza e l'arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore. Per un osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale nulla. La separazione temporale di due eventi con separazione spaziale nulla si dice tempo proprio.
percorso_luce (18K) Poiché sia nel riferimento S, sia nel riferimento S' ci sono due orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento. Ma cosa avviene uno osservatore prova a fare una misura di tempo mediante l'orologio a luce che si sta muovendo rispetto a lui? Per un tale osservatore, l'orologio si muove con velocità v in direzione perpendicolare all'asse degli specchi e quindi la luce percorre, tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore di 2d. Poiché la luce ha sempre velocità c in qualsiasi riferimento inerziale, il periodo T' dell'orologio in moto è allora (per S):
T' = 2 L / c > T0

Il periodo T' misurato con l'orologio in moto è maggiore del tempo proprio T0: l'orologio in moto batte quindi un tempo più lento rispetto a quello in quiete. Si noti che ciò è vero per tutti e due gli osservatori: l'osservatore nella stazione S afferma che l'orologio sul treno è più lento, l'osservatore nel treno S' afferma che è l'orologio della stazione a rallentare!

In questa affermazione che può sembrare paradossale c'è tutto il significato del principio di relatività: le leggi della fisica sono eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che l'orologio in moto rallenta.

Il periodo proprio dell'orologio a luce è:

T0 = 2 d / c

Il periodo dell'orologio misurato in moto è:

T' = 2 L / c > T0

Che relazione c'è tra il periodo T0 (proprio) e il periodo T' misurato in moto? Possiamo risolvere il problema con considerazioni geometriche: l'orologio in moto ha velocità v e, mentre il raggio di luce percorre la distanza L, l'orologio si sposta di un tratto orizzontale 2x. Dal teorema di Pitagora si ha che: L2 = d2 + x2

Osserviamo questi tre termini:

Il tratto L è percorso dal raggio di luce nel tempo T'/2 (misurato in moto) L = c T' / 2
Il tratto d è percorso dal raggio di luce nel tempo T0/2 (misurato in quiete) d = c T0 / 2
Il tratto x è percorso dall'orologio nel tempo T'/2 (misurato in moto) x = v T' / 2

Sostituendo si ha: c2 T'2 = c2 T02 + v2 T'2

e quindi T'2 = c2 T02 / (c2 - v2)

Dividendo numeratore e denominatore per c2 e ponendo β = v/c si ottiene infine che il rapporto tra il tempo T' misurato in moto ed il tempo proprio T0 vale:

gamma (1K)

Il fattore adimensionale γ si chiama fattore di dilatazione del tempo. Il tempo T' misurato su un orologio in moto risulta dilatato del fattore γ rispetto al tempo proprio T0.

T' = γ T0
In un riferimento in moto il tempo scorre più lentamente e la dilatazione è tanto maggiore quanto più alta è la velocità relativa dei due riferimenti. Il tempo proprio è il minor intervallo di tempo misurabile per un qualsiasi fenomeno

Come si vede, tutto dipende dal fattore β (detto anche parametro di velocità) da cui dipende il fattore di dilatazione γ

βγ
0,001circa 1
0,011,0001
0,11,0050
0,51,1547
0,92,2942
0,997,0888
1infinito

Qualche osservazione :