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Seno, coseno, tangente di un angolo
Le cordinate polari (modulo e argomento) non sono l'unico modo per individuare un
vettore nel piano. Osserva il vettore v qui accanto rappresentato in un piano cartesiano:
esso ha modulo 5 (in unità di misura arbitrarie) e argomento 30°.
Può essere individuato da coordinate diverse da quelle polari?
Un vettore v in un piano cartesiano è univocamente determinato anche dalle coordinate cartesiane ottenute proiettando il segmento orientato che rappresenta il vettore sull'asse x e sull'asse y. La misura delle due coordinate cartesiane fornisce vx = 4,3 e vy = 2,5
Il vettore v può allora essere individuato dalle coordinate
- polari v = 5; α= 30°
- cartesiane vx = 4,3; vy = 2,5
Se si conoscono le coordinate polari, si possono ricavare e coordinate cartesiane e viceversa. A questo punto c'è bisogno di introdurre un minimo di nozioni di goniometria.
Consideriamo uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, per esempio l'angolo β opposto al cateto b. Si definisce:
| seno dell'angolo β | il rapporto tra cateto opposto b e ipotenusa a | sen β = b / a |
| coseno dell'angolo β | il rapporto tra cateto adiacente c e ipotenusa a | cos β = c / a |
| tangente dell'angolo β | il rapporto tra cateto opposto b e cateto adiacente c | tg β = b / c |
Qualche osservazione:
- Seno, coseno e tangente sono numeri puri in quanto rapporto di lunghezze;
- Seno, coseno e tangente sono funzioni univoche dell'angolo (sono dette funzioni goniometriche) e quindi non dipendono dalle dimensioni lineari del triangolo considerato (possono essere determinate con l'aiuto di una calcolatrice scientifica);
- La tangente di un angolo è il rapporto tra seno e coseno dello stesso angolo, come si può facilmente dimostrare;
- Come vedremo, le funzioni goniometriche possono essere definite per qualsiasi angolo e non solo per quelli acuti.
Apri un foglio di calcolo elettronico e costruisci la tabella per seno, coseno e
tangente per angoli compresi tra -180° e 180°.
Attenzione: le funzioni goniometriche sono calcolate automaticamente se l'angolo piano
è espresso in radianti.
Per convertire un angolo da gradi in radianti usa la formula =radianti()
Ecco i valori relativi a qualche angolo e l'andamento grafico delle tre funzioni:
| angolo in gradi | angolo in radianti | seno | coseno | tangente |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,52 | 0,5 | 0,87 | 0,58 |
| 45° | 0,79 | 0,71 | 0,71 | 1 |
| 60° | 1,05 | 0,87 | 0,5 | 1,73 |
| 90° | 1,57 | 1 | 1 | -- |
| 180° | 3,14 | 0 | -1 | 0 |
Si noti che seno e coseno hanno valori sempre compresi tra 1 e -1. La curva disegnata da queste funzioni si chiama sinusoide. La tangente invece non è definita per angoli retti (perché?) ed ha valori illimitati.
Con la calcolatrice o con il foglio elettronico puoi verificare che angoli diversi che differiscono di un angolo giro (come -90° e 270°) hanno gli stessi valori di seno, coseno e tangente.
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