Dinamica del punto materiale

Forza centripeta: dimostrazione geometrica

dimostrazione (6K)

Consideriamo due posizioni P1 e P2 molto vicine di un corpo che si muove di moto circolare uniforme. Le due posizioni sono separate da un intervallo di tempo Δt.

Nella posizione P1 il corpo ha velocità v1, in P2 ha velocità v2.

L'accelerazione media a è per definizione a = Δv /Δt

Δv = v2 - v1 è la differenza vettoriale fra le due velocità che sono uguali in modulo, ma non in direzione.
Si osservi che il vettore Δv è diretto verso il centro della traiettoria.

Il triangolo isoscele O P1 P2 è simile a quello formato dai vettori v1 e v2 (di modulo v) e dalla loro differenza Δv.

I due triangoli simili hanno i lati proporzionali. Posto v1 = v2 = v, si ha:
Δv / v = P1 P2 / R

Poichè P1 e P2 sono molto vicini si può assumere che la lunghezza del segmento P1 P2 sia circa uguale all'arco v Δt di circonferenza percorsa. Di conseguenza si ha:
Δv / v = v t / R da cui Δv = v2 Δt / R

Il modulo dell'accelerazione a è allora
a = Δv / Δt = v2 / R

L'accelerazione centripeta a di un oggetto che si muove di moto circolare uniforme su una traiettoria di raggio R con velocità tangenziale di modulo v, è un vettore con diretto sempre verso il centro della curva e con modulo costante
a = v2 / R
La forza centripeta F = m a che costringe un oggetto di massa m a muoversi di moto circolare uniforme ha la stessa direzione dell'accelerazione e modulo costante
F = m v2 / R

I vettori forza e velocità (o accelerazione e velocità) rimangono sempre perpendicolari tra loro.

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