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La pressione dal punto di vista microscopico
Lo scopo è quello di trovare una relazione tra la pressione p di un gas (grandezza macroscopica) e le caratteristiche microscopiche delle molecole.
Utilizziamo il seguente modello:
- N molecole di un gas di massa molare M contenute in una scatola cubica di spigolo L
- Le particelle si muovono a caso nella scatola
- Le dimensioni delle particelle sono così piccole da rendere trascurabile la probabilità di avere urti tra di loro.
- Le particelle urtano elasticamente contro le pareti, conservando quindi la loro energia cinetica.
Una generica particella ha massa m e velocità v di componenti (vx, vy, vz) rispetto ad un riferimento cartesiano Oxyz con assi paralleli agli spigoli del contenitore cubico
La pressione p contro le pareti del cubo parete è data dal rapporto tra la forza totale esercitata da tutte le molecole su ogni parete e la superficie della parete stessa.
Consideriamo solo la proiezione del moto che si svolge lungo l'asse x. Per ragioni di simmetria il ragionamento è lo stesso per tutti e tre gli assi dello spazio tridimensionale.
Sull'asse x, una particella si muove avanti e indietro fra due pareti conservando l'energia cinetica, ma invertendo il verso della quantità di moto (mvx) ad ogni urto. Il modulo della forza media F che la molecola riceve dalla parete (o che la parete riceve dalla molecola) è, per la seconda legge di Newton, pari alla variazione nel tempo della quantità di moto della particella.
F = |Δ mvx /Δ t| = |mvx - (-mvx) / Δ t| = |2 m vx /Δ t |Il tempo che intercorre fra un urto e il successivo, cioè il tempo che la particella impiega a percorrere due volte il tratto L, vale Δt = 2L / vx
Sostituendo si ha che la forza media esercitata da una particella è:
F = m vx2 / LOgni particella, pertanto, esercita una pressione media sulla parete data dal rapporto tra la forza esercitata e la superficie L2 della parete della parete stessa.
p = F / L2 = m vx2 / V dove V = L3 è il volume della scatola.
Il termine vx2 nella formula precedente è naturalmente un valore medio e precisamente il quadrato della velocità quadratica media vqmx2 lungo l'asse x.
La pressione totale dovuta a tutte le N particelle del gas (che hanno tutte la stessa massa m) si ottiene moltiplicando per N il valore della pressione esercitata da ogni particella.
Il prodotto m N (m massa molecolare, N numero di molecole) rappresenta la massa totale del gas che può essere espressa anche come prodotto n M (n numero di moli, M massa molare).
Infine esprimiamo la pressione in funzione della velocità quadratica media e non della sola componente x. Per ragioni di statistica e simmetria le 3 componenti spaziali della velocità quadratica media possono assumersi uguali così che v2qxm è un terzo di v2qm
Questa relazione collega la velocità quadratica media delle particelle (grandezza microscopica) alle grandezze macroscopiche del gas.
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Copyleft Ludovica Battista