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Dati del problema | Richieste | ||
M = 6 1024 kg | massa della Terra | v | velocità per un'orbita circolare |
R = 6380 km | raggio terrestre | ||
h = 230 km | quota del satellite rispetto alla superficie della Terra | ||
m | massa del satellite |
Un satellite può orbitare intorno alla Terra a varie quote (la quota è la distanza dalla superficie della Terra). Per ogni quota esiste un determinato valore della velocità di fuga, indipendente dalla massa del corpo. Se il satellite ha velocità inferiore alla velocità di fuga, esso orbiterà intorno alla Terra percorrendo un'orbita ellittica (oppure cadrà sulla Terra).
Per avere un'orbita perfettamente circolare (ellisse di eccentricità 0) di raggio r, la forza gravitazionale deve fornire la forza centripeta necessaria per fare una curva di raggio r
G M m / r2 = m v2 / r
risolvendo rispetto a v si ha:
La velocità di un'orbita circolare è naturalmente minore della velocità di fuga (di un fattore radice di 2). Per ogni quota esiste un solo valore della velocità corrispondente ad un'orbita circolare.
La velocità del satellite in oggetto si calcola considerando che il raggio dell'orbita è r = R + h. Con i valori dati si ha: v = 7,8 km/s
Dati del problema | Richieste | ||
M = 6 1024 kg | massa della Terra | E | energia meccanica del satellite |
R = 6380 km | raggio terrestre | ||
h = 230 km | quota del satellite rispetto alla superficie della Terra | ||
m = 1000 kg | massa del satellite | ||
v = 7,8 km/s | velocità del satellite |
L'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica K del satellite (rispetto alla Terra) e dell'energia potenziale gravitazionale U del sistema satellite + Terra
E = K + U = 1/2 m v2 - G M m / r
Sostituendo alla velocità v l'espressione trovata per un'orbita circolare, si ha:
E = 1/2 G M m / r - G M m / r = -1/2 G M m / r = -60 000 MJ
L'energia meccanica del satellite è negativa perché il satellite si trova in uno stato legato.
L'espressione dell'energia totale per un'orbita circolare rimane valida anche per un'orbita ellittica se al raggio r si sostituisce il semiasse maggiore a dell'ellisse
A parità di semiasse maggiore, si possono disegnare ellissi di diversa eccentricità, ma l'energia totale di un satellite dipende esclusivamente dal valore del semiasse maggiore e non dall'eccentricità.
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