Meccanica del corpo rigido

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Momento angolare e sua conservazione

C'è ancora un'altra grandezza da introdurre nella dinamica del corpo rigido: quella che corrisponde alla quantità di moto.

Si definisce momento angolare L della quantità di moto mv rispetto ad un punto O il prodotto vettoriale del vettore r (distanza dal punto) e il vettore quantità di moto

L'unità di misura del momento angolare è kg m2 s-1. Il momento angolare è una grandezza molto importante anche per le particelle elementari, come gli elettroni. Se immaginiamo un elettrone come un corpuscolo in rotazione, l'intensità del momento angolare prende il nome di spin.

Tre oggetti schematizzabili come punti materiali di massa m1, m2 ed m3 sono rigidamente collegati da un filo metallico di massa trascurabile a distanze r1, r2 ed r3 da una estremità C del filo. Il sistema ruota attorno a C con velocità angolare costante ω. Determina il momento angolare L del sistema.
Dati del problemaRichieste
m1, m2, m3masse dei 3 corpienergia cinetica K
r1, r2, r3distanze delle 3 masse dal centro C di rotazione
masse_rotazione (5K)

Per ognuna delle sferette, il momento angolare è dal prodotto della quantità di moto per la distanza dal centro di rotazione.

L = m1 v1 r1 + m2 v2 r2 + m3 v3 r3

Poichè la velocità angolare ω è la stessa per le tre masse, si ha che

v1= ω r1

v2 = ω r2

v3 = ω r3

Il momento angolare totale può quindi essere scritto:

L = (m1 r12 + m2 r22 + m3 r32) ω

L = I ω con I momento d'inerzia del sistema

Il momento angolare di un corpo o di un sistema che ruota è

L = I ω

Si noti ancora la corrispondenza tra grandezze lineari e angolari:

quantità di moto p = m v

momento angolare L = I ω

Anche per il momento angolare vale un analogo principio di conservazione: se per un punto materiale si ha che all'equilibrio si conserva la quantità di moto, così per un corpo esteso, quando il momento torcente è nullo, si conserva il momento angolare.

In analogia quindi si ha:

Ftot = Δp/Δ t e quindi se Ftot = 0 allora p = cost

τtot = ΔL/Δ t e quindi se τtot = 0 allora L = cost

Una pattinatrice su ghiaccio, durante una piroetta, allarga le braccia e la sua velocità di rotazione diminuisce. Questo accade perché:
  1. Diminuisce il momento d'inerzia
  2. Aumenta il momento d'inerzia

Portando le braccia lontano dal corpo cambia la distribuzione della massa rispetto all'asse di rotazione e il momento d'inerzia aumenta. Poiché non hanno agito momenti torcenti esterni, il momento angolare L = I ω si conserva e la velocità angolare diminuisce.

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