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Riconsideriamo il problema precedente: si tratta di un corpo di massa m = 1 kg che cade da una certa quota sotto l'azione della sola forza peso (conservativa). Per ogni quota sono indicati i valori dell'energia cinetica K e potenziale gravitazionale U (calcolata rispetto ad un livello zero).
Quota h (m) | energia cinetica K (J) | energia potenziale U (J) | E = K + U (J) |
3 | 0 | 29,4 | 29,4 |
2 | 9,8 | 19,6 | 29,4 |
1 | 19,6 | 9,8 | 29,4 |
0 livello ZERO | 29,4 | 0 | 29,4 |
Se le uniche forze in gioco sono conservative, per ogni posizione occupata dal corpo è costante la somma di energia cinetica e potenziale. Questa somma si dice energia meccanica E. L'energia meccanica del corpo in questione vale costantemente 29,4 J. Nei casi in cui le uniche forze che fanno lavoro sono conservative vale la
Considerando due posizioni diverse hA e hB e le rispettive velocità vA e vB che un corpo di massa m possiede nelle due posizioni, la legge di conservazione dell'energia meccanica si può scrivere:
La prima cosa da fare è scegliere un livello zero: scegliamo il livello del terreno.
Dati del problema | Richieste | ||
hA = 32,52 m | quota max rispetto al livello zero | vA | velocità alla quota hA |
hB = 1,00 m | quota min | vB | velocità alla quota hB |
hC = 27,07 m | quota intermedia | vC | velocità alla quota hC |
Ora si può applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica ai punti A, B, C
KA + UA = KB + UB = KC + UC
1/2 m vA2 + m g hA = 1/2 m vB2 + m g hB = 1/2 m vC2 + m g hC
Semplifichiamo la relazione dividendo tutto per la massa m e considerando che, alla quota massima, il treno in A è fermo, quindi vA = 0.
g hA = 1/2 vB2 + g hB = 1/2 vC2 + g hC
Si ottengono due relazioni, dalle quali ottenere le velocità incognite:
g hA = 1/2 vB2 + g hB ----> vB = (2 g (hA - hB))1/2
g hA = 1/2 vC2 + g hC ----> vC = (2 g (hA - hC))1/2
Facendo i calcoli con i dati in ingresso si ottiene:
Dati in ingresso | Dati in uscita | ||
hA = 32,52 m | quota max rispetto al livello zero | vA = 0 | velocità alla quota hA |
hB = 1,00 m | quota min | vB = 24,86 m/s | velocità alla quota hB |
hC = 27,07 m | quota intermedia | vC = 10,34 m/s | velocità alla quota hC |
Come si vede, in assenza di attriti e resistenze, la velocità del treno nelle varie posizioni della Sierra Tonante non dipende dalla massa. Poiché nella realtà le forze di attrito esistono, i valori calcolati sono solo un'indicazione delle massime velocità raggiungibili.
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