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La forza di richiamo è una forza conservativa: questo significa che un corpo che è soggetto solo alla forza di richiamo (quindi senza attriti e resistenze del mezzo) conserva l'energia meccanica totale, cioè la somma dell'energia cinetica K e dell'energia potenziale U. L'energia potenziale U di una massa m sottoposta ad una forza di richiamo di costante k, è data dal lavoro fatto dalla forza per portare il corpo da una posizione x alla posizione di equilibrio, considerando il punto di equilibrio come livello 0 dell'energia potenziale.
Possiamo scrivere la legge di conservazione dell'energia meccanica, esplicitando le espressioni di K in funzione della massa m e della velocità v del corpo e di U in funzione della costante elastica k e della posizione x:
Quando la massa che oscilla transita per il punto di equilibrio (x = 0), la sua velocità è massima ed è quindi massima anche l'energia cinetica, mentre l'energia potenziale è nulla. Nelle due posizioni di spostamento massimo (x = |A|), la massa oscillante avrà energia potenziale massima ed energia cinetica nulla. Riassumiamo con uno schema:
Posizione | Forza | Accelerazione | Velocità | Energia cinetica | Energia potenziale |
x = A | max (in modulo) | max (in modulo) | nulla | nulla | massima |
x = 0 | nulla | nulla | max (in modulo) | max | nulla |
x = -A | max (in modulo) | max (in modulo) | nulla | nulla | massima |
Dati del problema | Richieste | ||
k = 100 N/m | costante elastica | E | energia meccanica totale del sistema |
A = 5 cm = 5 10-2 m | ampiezza del moto |
Nei punti di massimo spostamento (x = |A|), l'energia meccanica è solo potenziale e quindi è possibile calcolarne il valore: E = 1/2 k A2
Il valore dell'energia meccanica totale è determinato quindi dalla costante elastica e dall'ampiezza del moto. Nel caso in esame si ottiene: E = 0,125 J
Dati del problema | Richieste | ||
f = 100 Hz | frequenza del moto armonico | vmax | velocità massima |
A = 2 cm = 2 10-2 m | ampiezza del'oscillazione |
La posizione in cui il sistema ha velocità massima è la posizione centrale di equilibrio (x = 0) in cui la massa transita sia con velocità massima in andata e in ritorno. Applichiamo il principio di conservazione dell'energia meccanica confrontando il punto di equilibrio, in cui l'energia è solo cinetica, (E = 1/2 m vmax2) con uno dei punti estremi, in cui l'energia è solo potenziale (E = 1/2 k A2):
1/2 m vmax2 = 1/2 k A2
Risolvendo rispetto a vmax (in valore assoluto) e ricordando che , si ottiene:
La velocità massima è legata alla pulsazione e quindi alla frequenza f di vibrazione. Con i dati del problema si ottiene: vmax = ω A = 2 π f A = 12,57 m/s
Nel moto armonico la velocità oscilla da 0 (agli estremi) fino ad un valore massimo assoluto ω2 A (positivo o negativo nel centro dell'oscillazione). L'oscillazione della velocità è quindi sfasata di 1/4 di periodo rispetto allo spostamento x.
L'espressione della velocità in funzione del tempo può essere espressa con una funzione sinusoidale:
La funzione seno ha lo stesso periodo del coseno, ma è sfasata di 1/4 di periodo rispetto ad esso. Il segno - ci dice che la velocità è negativa quando il seno è positivo e positiva quando il seno è negativo.
Grandezze oscillanti nel moto amonico:
Posizione | Forza | Velocità |
x (t)= A cos (ω t + φ0) | F (t) = - k x (t) = - k A cos (ω t + φ0) | v (t) = -ω A sen (ω t + φ0) |
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