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Momento di inerzia
Alle grandezze cinematiche angolari, si è aggiunto il momento torcente che fa parte della dinamica angolare e che corrisponde al ruolo della forza nella dinamica del punto materiale.
C'è bisogno, nella dinamica rotazionale, di una grandezza che corrisponda alla massa inerziale, vale a dire di una grandezza che si opponga alla variazione di velocità angolare. Questa nuova grandezza si chiama momento d'inerzia e dipende sia dalla massa del corpo esteso, sia dalla sua forma, cioè dalla distribuzione più o meno compatta della massa. Considereremo, come primo semplice esempio, la rotazione di un corpo formato da tre masse ben definite.
| Dati del problema | Richieste | |
| m1, m2, m3 | masse dei 3 corpi | energia cinetica K |
| r1, r2, r3 | distanze delle 3 masse dal centro C di rotazione |
Le tre masse in rotazione hanno velocità tangenziali diverse: se indichiamo con v1, v2 e v3 le tre velocità, l'energia cinetica rotazionale del sistema è
K = ½ m1 v12 + ½ m2 v22 + ½ m3 v32
Poichè la velocità angolare ω è la stessa per le tre masse, si ha che
v1= ω r1
v2 = ω r2
v3 = ω r3
L'energia cinetica rotazionale totale può quindi essere scritta:
K = ½ (m1 r12 + m2 r22 + m3 r32) ω2
Se nel moto di traslazione, l'energia cinetica dipende dalla velocità v comune a tutte le parti del sistema, nel moto di rotazione, essa dipende dalla comune velocità angolare ω
Il ruolo della massa corrisponde al termine I = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 che chiameremo momento d'inerzia del sistema in rotazione.
L'energia cinetica rotazionale di un corpo o di un sistema che ruota è
K = ½ I ω2
L'unità di misura del momento di inerzia è kg m2
Il momento d' inerzia dipende forrtemente dalla distanza delle masse dal centro di rotazione: più le masse sono lontane dal centro, maggiore è il momento di inerzia. Per un corpo esteso esso dipende dalla distribuzione della massa rispetto all'asse di rotazione. Aumentando la massa di un corpo esattamente nel centro di rotazione, il momento di inerzia e l'energia cinetica rotazionale rimarrebbero uguali!Per n punti materiali di massa m1 .. mn a distanze r1 .. rn dal centro di rotazione, il momento di inerzia è dato dalla somma dei prodotti delle masse per il quadrato delle distanze dal centro di rotazione.
- rimane la stessa
- aumenta
- diminuisce
Nel caso di un corpo esteso continuo, il momento di inerzia può essere determinato usando gli strumenti dell'analisi matematica, in questo caso il calcolo integrale.
Ecco il valore del momento di inerzia di alcuni oggetti di massa M e forma particolare
Possiamo aggiornare la nostra tabella di corrispondenze tra grandezze lineari e angolari.
| simbolo | nome | unità di misura | simbolo | nome | unità di misura |
| s | spostamento lineare | m | α | angolo | rad |
| v | velocità lineare | m/s | ω | velocità angolare | rad/s |
| aC | accelerazione centripeta | m/s2 | θ | accelerazione angolare | rad/s2 |
| aT | accelerazione tangenziale | m/s2 | |||
| F | forza | N | τ | momento torcente | N m |
| m | massa | kg | I | momento d'inerzia | kg m2 |
| K= 1/2 m v2 | energia cinetica di traslazione | J | K = 1/2 I ω2 | energia cinetica di rotazione | J |
Alla legge fondamentale della dinamica per il punto materiale corrisponde un'analoga legge fondamentale che lega il momento torcenre all'accelerazione angolare.
F = m a
τ = I θ
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