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Conservazione dell'energia meccanica 2
La forza di richiamo è una forza conservativa: questo significa che un corpo che è soggetto solo alla forza di richiamo (quindi senza attriti e resistenze del mezzo) conserva l'energia meccanica totale, cioè la somma dell'energia cinetica K e dell'energia potenziale Ug. Possiamo scrivere la legge di conservazione dell'energia meccanica dell'oscillatore, esplicitando le espressioni di K in funzione della massa m e della velocità v del corpo e di U in funzione della costante elastica k e della posizione x:
Quando la massa che oscilla transita per il punto di equilibrio (x = 0), la sua velocità è massima ed è quindi massima anche l'energia cinetica, mentre l'energia potenziale è nulla. Nelle due posizioni di spostamento massimo (x = |A|), la massa oscillante avrà energia potenziale massima ed energia cinetica nulla.
Riassumiamo con uno schema:
| Posizione | Forza | Accelerazione | Velocità | Energia cinetica | Energia potenziale |
| x = A | max (in modulo) | max (in modulo) | nulla | nulla | massima |
| x = 0 | nulla | nulla | max (in modulo) | max | nulla |
| x = -A | max (in modulo) | max (in modulo) | nulla | nulla | massima |
| Dati del problema | Richieste | ||
| k = 100 N/m | costante elastica | E | energia meccanica totale del sistema |
| A = 5 cm = 5 10-2 m | ampiezza del moto |
Nei punti di massimo spostamento (x = |A|), l'energia meccanica è solo potenziale e quindi è possibile calcolarne il valore: E = 1/2 k A2
Il valore dell'energia meccanica totale è determinato dalla costante elastica e dall'ampiezza del moto. Nel caso in esame si ottiene: E = 1/2 100 (5 10-2)2 J = 0,125 J
| Dati del problema | Richieste | ||
| m = 100 g = 0,1 kg | massa del carrello | raggiunge il punto B? | |
| vA = 7 m/s | velocità del carrello nel punto A | x | compressione della molla C |
| hB = 2 m | quota di B rispetto ad A | ||
| k = 200 N/m | costante elastica della molla C |
L'energia meccanica E di un corpo come il carrello del problema è la somma dell'energia cinetica K, dell'energia potenziale gravitazionale Ug e della potenziale elastica Ue. Se le forze che agiscono sono conservative vale la
E = K + Ug + Ue = costante
Questo significa che l'energia meccanica nella posizione A deve essere uguale all'energia meccanica nella posizione B e nella posizione C (carrello fermo con molla compressa di x): E(A) = E(B) = E(C)
Assumendo il punto A come livello 0 per l'energia potenziale gravitazionale, in questa posizione l'energia meccanica del carrellino è solo cinetica e vale E = 1/2 m vA2 = 2,45 J.
Il carrello ce la fa a fare la salita se l'energia in A è sufficiente (cioè maggiore o uguale) all'energia potenziale gravitazionale necessaria per arrivare nel punto B, cioè se:
1/2 m vA2 ≥ m g hB
2,45 J ≥ 1,96 J ---> VERO La condizione è soddisfatta: il carrello riesce ad arrivare sul punto B trasformando parte dell'energia cinetica in potenziale gravitazionale con un residuo di 0,49 J di energia cinetica. La risposta alla prima domanda è pertanto SI.
Ricapitolando l'energia meccanica del carrello è:- in A solo cinetica
- in B potenziale gravitazionale e cinetica
- in C (molla compressa e carrello fermo) potenziale gravitazionale ed elastica
1/2 m vA2 = m g hB + 1/2 m vB2 = m g hC + 1/2 k x2 = 2,45 J
Nella compressione della molla l'energia potenziale gravitazionale rimane costante, mentre quella cinetica si trasforma tutta in energia elastica. Quindi Ue = 1/2 k x2 = 0,49 J
Dall'ultima relazione si ottiene la compressione x della molla:
x = (2 Ue / k)1/2 = 7 cm
In assenza di forze dissipative (= non conservative), il processo continua con una trasformazione successiva di energia potenziale elastica in cinetica e poi di energia potenziale gravitazionale ancora in cinetica fino a raggiungere la posizione A con velocità opposta a quella iniziale.
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