Dinamica del punto materiale

Piano inclinato

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La forza vincolare esercitata da una superficie piana si manifesta come una forza perpendicolare alla superficie e per questo si chiama anche forza normale (= perpendicolare). Ma essere normale ad una superficie significa necessariamente essere verticale?

Una automobilina giocattolo di 50 g scivola su un piano inclinato di 30°. Supponi che il piano sia liscio (con attrito trascurabile) e determina l'accelerazione dell'automobilina.
Dati del problemaRichieste
m = 50 g = 0,05 kg massa dell'automobilinaaaccelerazione (vettore) dell'automobilina
α = 30° inclinazione del piano

Si tratta di un corpo che scivola su un piano inclinato liscio. Il giocattolo non è in caduta libera perché vincolato del piano inclinato. In questo caso, però, il vincolo non equilibra il peso perché esercita un'azione normale al piano e quindi in direzione diversa dalla forza peso.

piano_inclinato (9K)

Per disegnare il diagramma delle forze conviene scegliere un sistema di riferimento bidimensionale Oxy con asse x diretta nel verso del piano inclinato, asse y perpendicolare al piano e diretta verso l'alto e origine nel punto occupato inizialmente dal corpo. Le forze agenti sono la forza di gravità FP = m g, diretta verticalmente verso il basso e il vincolo FV del piano che ha direzione e verso dell'asse y.

Sia dall'esperienza, sia dal diagramma delle forze è evidente che il corpo non è equilibrato. In assenza di attrito, l'automobilina accelera lungo il piano inclinato con accelerazione minore di quella di gravità. Per determinare l'accelerazione del corpo, dovremmo sommare vettorialmente le due forze per trovarne la risultante Ftot. Come regolarsi con l'intensità del vincolo?

Possiamo osservare preliminarmente che non esiste sicuramente accelerazione lungo l'asse y e che quindi la forza risultante lungo l'asse y deve essere nulla. Esaminiamo separatamente l'azione delle forze lungo l'asse x e l'asse y, dopo aver scomposto la forza peso in una componente Fpx ed una Fpy. Se indichiamo con i e j i versori degli assi, possiamo scrivere:

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FP = (Fpx) i + (Fpy) j

Con considerazioni sui triangoli simili, si può vedere che le due componenti del peso valgono

Fpx = m g sen α

Fpy = m g cos α

Osserva:

DirezioneNoteForza risultante Ftotaccelerazione a
xla componente x del peso è l'unica forza lungo l'asse xm g sen αg sen α
ynon esiste moto lungo l'asse y, quindi la forza risultante in y è nulla00

Il moto di un corpo su un piano inclinato liscio è uniformemente accelerato lungo il piano inclinato, e, come il moto di caduta libera, non dipende dalla massa, ma solo dal valore dell'angolo α. Sul piano inclinato l'accelerazione è minore di dell'accelerazione di gravità ed il suo valore dipende dall'angolo di inclinazione. Per angoli vicini a 90° il seno dell'angolo tende a 1 e l'accelerazione tende a diventare quella di caduta libera.

Nel problema in esame l'accelerazione (in modulo) vale: a = g sen α = 4,9 m/s2

Qual è l'intensità della forza vincolare perpendicolare al piano inclinato?
  1. la forza vincolare ha la stessa intensità della forza peso
  2. la forza vincolare ha la stessa intensità della componente y della forza peso