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Leggi del moto uniformemente accelerato
I grafici qui riportati rappresentano la gara 3 tra Achille e la Tartaruga. Mettiamoli a confronto: la Tartaruga rimane ferma nella posizione 40 m per 10 secondi, poi si muove a velocità costante di 2 m/s per la restante parte della gara. Nel grafico velocità-tempo relativo alla Tartaruga sono facilmente riconoscibili i due tratti a velocità 0 e velocità 2 m/s. Achille, come abbiamo visto, si muove di moto uniformemente accelerato con una accelerazione costante di 0,5 m/s2, ciò significa che la velocità di Achille varia in modo continuo di +0,5 m/s per ogni secondo a partire da una velocità iniziale 0. Il grafico velocità-tempo relativo ad Achille è quindi una retta passante per l'origine con pendenza a = 0,5 m/s2.
Leggi della velocità
La velocità della Tartaruga è una funzione del tempo definita per casi:v(t) = 0 (per t < 10)
v(t) = 2 m/s (altrimenti)
La velocità di Achille è una funzione lineare del tempo ed è data dall'equazione di una retta nel piano v-t passante per l'origine e con pendenza a
v(t) = a t
con a = 0,5 m/s2
In definitiva le leggi del moto uniformemente accelerato (quando la velocità iniziale è nulla) sono:
legge oraria: s(t) - s0 = ½ a t2
legge della velocità: v(t) = a t
Si può verificare che lo spostamento di Achille calcolato in corrispondenza di un qualsiasi tempo t, si ottiene sia dalla legge oraria, sia dall'area sotto il grafico velocità-tempo (area di un triangolo). L'area del triangolo è infatti ½ a t2.
Il grafico rappresenta ancora un moto con accelerazione costante a = 0,5 m/s2. Questa volta, però, la retta non passa per l'origine. L'intercetta non è la posizione iniziale, ma la velocità iniziale v0 = 3 m/s
La legge della velocità nel moto uniformemente accelerato, quando la velocità iniziale non è nulla va corretta nel modo seguente:
in questo caso si ha v(t) = 3 + 0,5 t (con grandezze espresse in unità SI)
Cerchiamo ora una espressione generale della legge oraria nel moto uniformemente accelerato con velocità iniziale non necessariamente nulla. Come abbiamo visto, lo spazio percorso si può determinare dal calcolo dell'area sotto il grafico velocità tempo: in questo caso abbiamo un trapezio, scomponibile in un rettangolo pił un triangolo.
Area rettangolo (di base t e altezza v0) = v0 t
Area triangolo (rispetto al caso precedente, è solo stato traslato verso l'alto) = ½ at2
Quindi lo spazio percorso al tempo t (a partire dalla posizione iniziale s0) è: s(t) - s0 = v0 t + ½ at2
Le leggi complete del moto uniformemente accelerato sono:
legge oraria: s(t) - s0 = v0 t + ½ a t2
legge della velocità: v(t) = v0 + a t
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