Dinamica del punto materiale

I radianti

I gradi di libertÓ del moto di un corpo sono determinati dal numero di coordinate necessarie per individuare la posizione del corpo nello spazio.

Quanti gradi di libertÓ ha un punto P che si muove di moto circolare uniforme? Si ha bisogno di grandezze vettoriali per descrivere questo tipo di moto?

Se un corpo puntiforme pu˛ muoversi liberamente nel piano, allora la posizione, lo spostamento, la velocitÓ e l'accelerazione sono individuate da due coordinate (due gradi di libertÓ) ed Ŕ necessario ricorrere a grandezze vettoriali. E' il caso di osservare che, dopo un percorso chiuso, il vettore spostamento e il vettore velocitÓ media risultano nulli.

Se invece consideriamo il punto vincolato sulla circonferenza come un treno sui binari possiamo disinteressarci al fatto che la traiettoria sia curva e descriverne il moto con una sola coordinata che ne indichi la posizione sul binario o sulla circonferenza. Analogamente la velocitÓ si calcola in base alla lunghezza scalare dello spazio percorso.
Un corpo vincolato a muoversi lungo una linea curva ha un solo grado di libertÓ.

Il punto P che si muove di moto circolare uniforme percorre, in un periodo T, un tratto 2 π R pari alla lunghezza della circonferenza con velocitÓ tangenziale v = 2 π R / T.
La velocitÓ tangenziale di P Ŕ quella che il punto avrebbe se percorresse un tratto 2 π R di moto rettilineo.

radianti (6K)

La posizione del punto P rispetto ad un riferimento Oxy con origine coincidente con il centro della circonferenza pu˛ essere individuata sia da coordinate cartesiane (x, y), sia da coordinate polari (R, α) dove R Ŕ il raggio (fisso) della circonferenza e α Ŕ l'angolo formato dal raggio con l'asse x.

PoichŔ le componenti cartesiane della posizione, della velocitÓ e dell'accelerazione cambiano continuamente nel tempo, Ŕ pi¨ conveniente utilizzare un riferimento polare: il raggio R rimane costante e il moto Ŕ descritto al variare nel tempo della sola coordinata α.

Nel Sistema Internazionale l'angolo piano si misura in radianti (simbolo rad).

La misura in radianti dell'angolo α si ottiene facendo il rapporto α = arco di circonferenza /raggio.

angolo (in gradi)angolo (in rad)
(i valori sono approssimati, alcuni angoli sono spesso espressi in funzione di π)
0░0,00
30░0,52 (π/6)
45░0,79 (π/4)
60░1,05 (π/3)
90░1,57 (π/2)
120░2,09 (2π/3)
180░3,14 (π)
360░2,28 (2π)

Per passare da gradi sessagesimali a radianti (e viceversa), si tiene conto della seguente proporzione:

α (rad) : α (░) = π : 180
radianti2 (8K)

La velocitÓ con cui l'angolo α varia nel tempo si chiama velocitÓ angolare. Questa grandezza non Ŕ omogenea alla velocitÓ tangenziale, le sue dimensioni fisiche sono infatti:

[velocitÓ angolare] = [angolo * tempo-1]
l'unitÓ di misura Ŕ il radiante al secondo (rad/s)

La velocitÓ angolare ω Ŕ un vettore che ha direzione perpendicolare al piano della traiettoria circolare e verso rivolto dalla parte in cui la rotazione si vede in senso antiorario.
Il modulo si ottiene facendo il rapporto tra l'angolo giro (2π) ed il periodo T:

ω = 2 π / T = 2 π f
La velocitÓ angolare di un corpo che si muove di moto circolare uniforme Ŕ costante.
Un corpo si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio R con periodo T. La frequenza f, la velocitÓ tangenziale v, la forza centripeta F e la velocitÓ angolare ω sono legate tra loro da opportune relazioni. Clicca sulle relazioni che ti sembrano corrette.

v = ω R
F = m ω2 R
F = m ω2 / R
f = ω / 2 π
ω = 2 π T