Fenomeni ondulatori

Dalla legge della forza alla legge oraria

Un oggetto in moto armonico semplice ha una massa di 2 kg ed è sottoposto ad una forza di richiamo con k = 100 N/m. Sapendo che al tempo 0 si trova immobile in x = 1 m, determina la legge oraria del moto.
Dati del problemaRichieste
m = 2 kgmassa dell'oggettox = f (t)legge oraria del moto
k = 100 N/mcostante elastica
x(0) = 1 mposizione iniziale
v(0) = 0velocità iniziale

Questo tipo di problema non è semplice senza gli opportuni strumenti matematici (derivate e integrali), ma possiamo ragionarne insieme: si tratta di un problema di integrazione: conoscendo la legge della forza (in questo caso la legge della forza di richiamo) e le condizioni iniziali del movimento (posizione occupata e velocità al tempo 0), bisogna determinare la legge oraria x = f (t) (spazio x in funzione del tempo t)

Sappiamo risolvere questo tipo di problema in casi molto semplici: con forza nulla o costante nel tempo. Osserva il seguente schema:

Legge della forza (in una dimensione)AccelerazioneCondizioni inizialiLegge oraria
F = 0a = 0x0, v0x = x0 + v0 t
(moto rettilineo uniforme)
F = costantea = F / mx0, v0x = x0 + v0 t + 1/2 a t2
(moto uniformemente accelerato)

La forza di richiamo non rientra in questi casi perchè una forza variabile, istante per istante. Cominciamo ad analizzare le condizioni iniziali:

Legge della forza (in una dimensione)AccelerazioneCondizioni inizialiLegge oraria
F = - 100 xa = - 50 xx0 = 1 m, v0 = 0x = f (t) ?

Poiché il corpo si trova in una posizione diversa da quella di equilibrio, la forza lo richiamerà verso il punto centrale. Non conoscendo i metodi matematici di integrazione, si può ricorrere, con l'aiuto del calcolo automatico, ad un metodo numerico. La procedura è la seguente:

Il metodo è concettualmente semplice, ma lungo per il gran numero di calcoli: bisogna far eseguire i calcoli in modo automatico (con un foglio elettronico o con un linguaggio di programmazione). La scelta dello step di tempo è delicata perchè:

Prova a inserire i dati del problema (o altri a tuo piacere) nei form qui sotto. I dati saranno inviati ad un programma php che tabulerà i valori della forza, dell'accelerazione, della velocità e della posizione per ogni step di tempo pari a 1/100 del periodo.
Dati del problema
m = kgmassa dell'oggetto
k = N/mcostante elastica
x(0) = mposizione iniziale
v(0) = m/svelocità iniziale