Leggi di conservazione

Conservazione dell'energia cinetica

Si definisce energia cinetica di un corpo la grandezza scalare K (sempre positiva!) ottenuta dal semiprodotto della massa m per il quadrato del modulo v della velocità.
K = 1/2 m v2

Le dimensioni fisiche dell'energia cinetica sono:

[energia cinetica] = [massa lunghezza2 tempo-2]

L'energia cinetica si misura in joule (simbolo J)

1 J = 1 kg m2/s2

Se si considera un sistema di due o più corpi, l'energia cinetica totale è data dalla somma di tutte le singole energie cinetiche dei corpi del sistema.

Ktot = K1 + K2 + ... + Kn

Un urto si dice elastico se l'energia cinetica totale del sistema si conserva (legge di conservazione dell'energia cinetica).

Torniamo ancora una volta al problema delle due bocce e calcoliamo l'energia cinetica totale del sistema PRIMA dell'urto.

mA = mB = m = 0,2 kgmassa della prima e della seconda boccia
vA = 2 m/svelocità della boccia AKA = 0,4 Jenergia cinetica della boccia A
vB = 0velocità della boccia BKB = 0energia cinetica della boccia B
Ktot = 0,4 Jenergia cinetica totale

Calcoliamo ora l'energia cinetica del sistema nel caso dei due urti possibili già visti.

A si ferma e B si muove a 2 m/s nella direzione che aveva APtot = 0,4 N s nel verso di vAKtot = 0,4 J
A e B si attaccano e si muovono a 1 m/s nella direzione che aveva APtot = 0,4 N s nel verso di vAKtot = 0,2 J

Come si può vedere, solo il primo è un urto elastico, il secondo caso è un urto anelastico in cui si perde una parte dell'energia cinetica.
Si possono avere casi innumerevoli di urti anelastici o parzialmente elastici con diverse perdite di energia cinetica. L'energia cinetica in realtà, non si perde, ma si trasforma in altri tipi di energia che causano, per esempio, deformazione (anche microscopica) e riscaldamento dei corpi.

Urto elastico 1D

elastico1d (25K)
Due oggetti si muovono lungo l'asse x e collidono con un urto frontale elastico. Determina le velocità dei corpi dopo l'urto e valuta cosa succede in particolare nei seguenti casi:
  1. Una massa in moto contro una massa molto più grande e immobile, ad esempio una pallina da ping pong contro una palla da bowling
  2. Una massa in moto contro una massa molto più piccola e immobile, ad esempio una palla di cannone contro un pallone da calcio

Analizziamo il problema in modo generale, per poi affrontare i due casi particolari: poichè l'urto è monodimensionale non ricorreremo ai vettori.

Dati del problemaRichieste
mAmassa del corpo AwAvelocità di A dopo l'urto
mBmassa del corpo BwBvelocità di B dopo l'urto
vAvelocità di A prima dell'urto
vBvelocità di B prima dell'urto

Nel caso di un urto elastico devono valere contemporaneamente le due leggi di conservazione (della quantità di moto e dell'energia cinetica). Si mettono quindi a sistema le due leggi di conservazione:

mA vA + mB vB = mA wA + mB wB
mA vA2 + mB vB2 = mA wA2 + mB wB2

Il sistema (di 2 equazioni in 2 incognite) formato dalle due leggi di conservazione ammette la seguente soluzione:

soluzione (11K)

I due casi da affrontare sono del tipo proiettile contro bersaglio con uno dei due corpi a fare da bersaglio immobile
(vB = 0)

1) Pallina da ping pong contro palla da bowling: il proiettile ha massa trascurabile (mA << mB) rispetto al bersaglio. Dalle equazioni che forniscono le velocità wA e wB dopo l'urto si ottiene:
wA ~ - vA
wB ~ (2mA /mB) vA ~ 0
La pallina rimbalza contro il bersaglio con velocità praticamente uguale a quella iniziale.
La palla da bowling si muove in avanti a bassissima velocità (praticamente rimane ferma).

2) Palla di cannone contro pallone da calcio: il bersaglio ha massa trascurabile (mB << mA) rispetto al proiettile. Dalle equazioni si ottiene:
wA ~ vA
wB ~ 2 vA
La palla di cannone prosegue indisturbata come se non fosse avvenuto alcun urto.
Il pallone si muove in avanti a velocità doppia rispetto alla palla di cannone.