Leggi di conservazione

Conservazione dell'energia meccanica

sierra2 (16K)

Riconsideriamo il problema precedente: si tratta di un corpo di massa m = 1 kg che cade da una certa quota sotto l'azione della sola forza peso (conservativa). Per ogni quota sono indicate i valori dell'energia cinetica K e potenziale gravitazionale U (calcolata rispetto ad un livello zero).

Quota h
(m)
energia cinetica K
(J)
energia potenziale U
(J)
E = K + U
(J)
3029,429,4
29,819,629,4
119,69,829,4
0 livello ZERO29,4029,4

Se le uniche forze in gioco sono conservative, per ogni posizione occupata dal corpo è costante la somma di energia cinetica e potenziale. Questa somma si dice energia meccanica E. L'energia meccanica del corpo in questione vale costantemente 29,4 J. Nei casi in cui le uniche forze che fanno lavoro sono conservative vale la

Legge di conservazione dell'energia meccanica
E = K + U = costante

Considerando due posizioni diverse hA e hB e le rispettive velocità vA e vB che un corpo di massa m possiede nelle due posizioni, la legge di conservazione dell'energia meccanica si può scrivere:

KA + UA = KB + UB
1/2 m vA2 + m g hA = 1/2 m vB2 + m g hB
A Mirabilandia (parco giochi presso Ravenna) c'è l'attrazione detta Sierra Tonante: un ottovolante in cui il treno con i passeggeri viene portato con un motore in cima alla collina più alta (a quota hA = 32,52 m rispetto al terreno) e lasciato cadere (senza motore) verso il punto più basso (quota hB = 1m) e poi riportato alla sommità di una seconda collina (quota hC = 27,07 m). Scegli un opportuno livello zero e calcola che velocità avrebbe il treno nelle posizioni A, B, C se non agissero forze d'attrito.

La prima cosa da fare è scegliere un livello zero: scegliamo il livello del terreno.

Dati del problemaRichieste
hA = 32,52 mquota max rispetto al livello zerovAvelocità alla quota hA
hB = 1,00 mquota minvBvelocità alla quota hB
hC = 27,07 m quota intermediavCvelocità alla quota hC

Ora si può applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica ai punti A, B, C

KA + UA = KB + UB = KC + UC

1/2 m vA2 + m g hA = 1/2 m vB2 + m g hB = 1/2 m vC2 + m g hC

Semplifichiamo la relazione dividendo tutto per la massa m e considerando che, alla quota massima, il treno in A è fermo, quindi vA = 0.

g hA = 1/2 vB2 + g hB = 1/2 vC2 + g hC

Si ottengono due relazioni, dalle quali ottenere le velocità incognite:

g hA = 1/2 vB2 + g hB ----> vB = (2 g (hA - hB))1/2

g hA = 1/2 vC2 + g hC ----> vC = (2 g (hA - hC))1/2

Facendo i calcoli con i dati in ingresso si ottiene:

sierra1 (19K)
Dati in ingressoDati in uscita
hA = 32,52 mquota max rispetto al livello zerovA = 0velocità alla quota hA
hB = 1,00 mquota minvB = 24,86 m/svelocità alla quota hB
hC = 27,07 m quota intermediavC = 10,34 m/svelocità alla quota hC

Come si vede, in assenza di attriti e resistenze, la velocità del treno nelle varie posizioni della Sierra Tonante non dipende dalla massa. Poiché nella realtà le forze di attrito esistono, i valori calcolati sono solo un'indicazione delle massime velocità raggiungibili.