Fenomeni ondulatori

Legge oraria del moto armonico

Dati del problemaRichieste
m = 2 kgmassa dell'oggettox = f (t)legge oraria del moto
k = 100 N/mcostante elastica
x(0) = 1 mposizione iniziale
v(0) = 0velocità iniziale

Utilizzando i dati scritti nella tabella qui sopra, si ottengono, con un metodo numerico, i valori della posizione x in funzione del tempo che sono rappresentati graficamente di seguito. Si può vedere che, pur con le approssimazioni dovute al metodo numerico, il moto è effettivamente oscillatorio.

grafico_armonico (17K)

La legge oraria del moto è una legge sinusoidale: la posizione x varia in funzione del tempo t come un seno o un coseno (le due funzioni hanno la stessa forma, cambia solo la posizione iniziale). Una legge sinusoidale ha un'equazione del tipo:

x(t) = A cos (φ)

oppure x(t) = A sen (φ)

Il fattore A (ampiezza del moto) è necessario perché seno e coseno hanno valori limitati tra -1 e 1, mentre lo spostamento x ha valori limitati tra -A e A.

L'argomento del coseno (o del seno) deve essere espresso in radianti ed è detto angolo di fase o fase. La fase varia con il tempo.

Scegliendo la funzione coseno la legge oraria del moto ha questa forma:

x (t) = A cos (ω t + φ0)

Osserviamo meglio l'espressione della fase φ = ω t + φ0 espressa in funzione di due costanti (ω e φ0) e del tempo t.

Il fattore ω si chiama pulsazione ed ha le dimensioni fisiche dell'inverso di un tempo (nel sistema SI si misura in rad/s). La pulsazione (detta anche velocità angolare o frequenza angolare è collegata direttamente al periodo ed alla frequenza del moto. La costante φ0 si chiama fase iniziale e determina la posizione iniziale.

Un moto armonico è descritto dalla seguente legge oraria: x(t) = 5 cos (3 t) in cui la posizione x è in metri e il tempo t in secondi. Determina ampiezza, pulsazione e fase iniziale con le corrette unità di misura. Determina inoltre la posizione del corpo al tempo t=0.

Mettiamo in relazione questa legge particolare con la legge generale:

x (t) = 5 cos (3 t)

x (t) = A cos (ω t + φ0)

Poiché x deve essere espresso in metri ed il coseno è un numero puro, si ha che l'ampiezza A vale A = 5 m.

La fase iniziale φ0 è nulla, mentre la pulsazione ω vale ω = 3 rad/s

Per determinare la posizione iniziale bisogna porre t=0 nella legge oraria. Si ottiene x(t) = 5 cos(0) = 5 m. Al tempo zero il corpo si trova nella posizione A di massima distanza dal centro del moto.

Che significato ha la pulsazione ω? Essa rappresenta la velocità di variazione dell'angolo di fase. Vediamo la relazione che c'è tra pulsazione, frequenza e periodo:

Se un moto ha periodo T, significa che la posizione x in un qualunque istante t è uguale alla posizione all'istante t+T, cioè x(t+T) = x(t). Ponendo per semplicità φ0 = 0, si ottiene:

A cos(ω (t+T)) = A cos (ωt) e quindi cos(ω (t+T)) = cos(ω t)

L'uguaglianza tra i coseni porta all'uguaglianza tra gli angoli a meno di 2 π

ω(t + T) = ωt + 2π quindi ωt + ωT = ωt + 2π quindi ωT = 2π

ω = 2 π / T = 2 π f

La pulsazione ω è inversamente proporzionale al periodo e direttamente proporzionale alla frequenza. Se si conosce una sola di queste tre grandezze, le altre due sono univocamente determinate.

Nel caso del problema in esame, la pulsazione è ω = 3 rad/s. Di conseguenza il periodo T e la frequenza f valgono: T = 2,09 s e f = 0,48 Hz

Possiamo esprimere il periodo T sia in funzione della massa e della costante elastica formula_periodo (1K), sia in funzione della pulsazione ω formula_periodo2 (1K)

Mettendo insieme queste due relazioni si ottiene

formula_pulsazione (1K)