Meccanica del corpo rigido

Momento di inerzia

Tre oggetti schematizzabili come punti materiali di massa m1, m2 ed m3 sono rigidamente collegati da un filo metallico di massa trascurabile a distanze r1, r2 ed r3 da una estremità C del filo. Il sistema ruota attorno a C con velocità angolare costante ω. Determina l'energia cinetica K del sistema.
Dati del problemaRichieste
m1, m2, m3masse dei 3 corpienergia cinetica K
r1, r2, r3distanze delle 3 masse dal centro C di rotazione
masse_rotazione (5K)

Le tre masse in rotazione hanno velocità tangenziali diverse: se indichiamo con v1, v2 e v3 le tre velocità, l'energia cinetica rotazionale del sistema è

K = ½ m1 v12 + ½ m2 v22 + ½ m3 v32

Poichè la velocità angolare ω è la stessa per le tre masse, si ha che

v1= ω r1

v2 = ω r2

v3 = ω r3

L'energia cinetica rotazionale totale può quindi essere scritta:

K = ½ (m1 r12 + m2 r22 + m3 r32) ω2

Se nel moto di traslazione, l'energia cinetica dipende dalla velocità v comune a tutte le parti del sistema, nel moto di rotazione, essa dipende dalla comune velocità angolare ω

Il ruolo della massa corrisponde al termine I = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 che è chiamato momento d'inerzia del sistema in rotazione.

L'energia cinetica rotazionale di un corpo o di un sistema che ruota è

K = ½ I ω2

L'unità di misura del momento di inerzia è kg m2

Il momento d' inerzia dipende dalla distanza delle masse dal centro di rotazione: più le masse sono lontane dal centro, maggiore è il momento di inerzia. Per un corpo esteso esso dipende dalla distribuzione della massa rispetto all'asse di rotazione. Aumentando la massa di un corpo esattamente nel centro di rotazione, il momento di inerzia e l'energia cinetica rotazionale rimarrebbero uguali!

Per n punti materiali di massa m1 .. mn a distanze r1 .. rn dal centro di rotazione, il momento di inerzia è dato dalla somma dei prodotti delle masse per il quadrato delle distanze dal centro di rotazione.

formula_momento_inerzia (2K)
Due punti materiali di massa una doppia dell'altra ruotano attorno ad un centro C con velocità angolare costante. Il corpo più massiccio è il più vicino al centro. Se ora scambiamo di posto i due punti mantenendo la stessa velocità angolare, l'energia cinetica del sistema
  1. rimane la stessa
  2. aumenta
  3. diminuisce

Nel caso di un corpo esteso continuo, il momento di inerzia può essere determinato usando gli strumenti dell'analisi matematica, in questo caso il calcolo integrale.

Ecco il valore del momento di inerzia di alcuni oggetti di massa M e forma particolare