Gravitazione

La curva dell'energia potenziale

Prima di affrontare il problema seguente, rileggi le considerazioni fatte a proposito delle curve ottenute rappresentando in un grafico cartesiano i valori dell'energia potenziale U di un corpo sottoposto all'azione di una forza conservativa in funzione della posizione occupata dal corpo.

Un satellite che orbita intorno alla Terra a distanza dal centro della Terra grande rispetto al raggio terrestre, è sottoposto ad una forza gravitazionale sensibilmente minore di quella che si avrebbe sulla superficie terrestre. Quale, fra quelle proposte di seguito, potrebbe essere la curva dell'energia potenziale gravitazionale U per un tale satellite, in funzione della distanza dal centro della Terra?
  1. Grafico lineare crescente
  2. Grafico lineare decrescente
  3. Iperbole crescente con concavità verso l'alto
  4. Iperbole crescente con concavità verso il basso

Direzione e verso della forza: La forza gravitazionale è diretta sempre verso la Terra, quindi l'energia potenziale gravitazionale U di una massa è minore nelle zone vicino alla Terra e aumenta quando si allontana dalla Terra: il grafico deve essere crescente in funzione della distanza dalla Terra.

Intensità della forza: L'intensità della forza gravitazionale non è costante ma diminuisce quando la massa si allontana dalla Terra, quindi la pendenza del grafico di U deve diminuire con la distanza: il grafico non può essere lineare.

L'unico grafico che soddisfa queste condizioni è l'opzione n.4

curva3 (27K)

La curva dell'energia potenziale gravitazionale U per una massa che si trova a distanze qualsiasi dal centro di un pianeta è una curva crescente con pendenza che diminuisce con l'aumentare della distanza (la concavità della curva deve essere rivolta verso il basso). La forza (in rosso) è diretta verso le zone dove l'energia U è minore e la sua intensità è maggiore dove la curva di U è più pendente: la curva è un ramo di iperbole.

Non è possibile calcolare in modo elementare il lavoro fatto dalla forza gravitazionale quando una massa si allontana o si avvicina all'altra perché la forza varia in ogni punto dello spostamento. L'espressione dell'energia potenziale U in funzione della distanza si ottiene dal calcolo infinitesimale e si accorda con le considerazioni fatte precedentemente sui grafici.

Con un'opportuna scelta del livello zero, due masse M e m poste a distanza d posseggono energia potenziale U

U = - G M m / d

La curva dell'energia potenziale gravitazionale è un ramo di iperbole con valori sempre negativi. Questo dipende dalla scelta del livello zero ed è una caratteristica delle forze di tipo attrattivo.

Il livello zero dell'energia potenziale

Osserva la relazione e il grafico che legano l'energia potenziale gravitazionale U (d) = - G M m / d alla distanza d tra due masse M e m. Per quale valore della distanza d si ha il livello zero?
  1. distanza nulla
  2. distanza pari al raggio terrestre
  3. distanza infinita
  4. distanza tra i centri di massa

Se si imposta l'equazione U(d) = 0 si può constatare che tale equazione è impossibile: il livello 0 matematicamente non si raggiunge mai!, ma, dalla curva dell'energia potenziale, si può osservare che i valori (negativi) di U(d) tendono a zero per valori di d che tendono all''infinito.

Quale significato ha in fisica una distanza infinita? L'infinito in fisica è semplicemente un valore molto grande rispetto ad altri valori in gioco: in questo caso una distanza infinita è una distanza tra le masse per la quale l'energia potenziale gravitazionale U(d) assume valori (negativi) trascurabili.

Il livello 0 dell'energia potenziale gravitazionale di due masse corrisponde ad una distanza infinita tra le due masse.