Meccanica del corpo rigido

Energia di rotolamento

Per un oggetto di massa totale M che rotola, cioè subisce un movimento di rototraslazione con velocità lineare v e velocità angolare ω, l'energia cinetica K è data dalla somma dell'energia di traslazione e di quella di rotazione.

K = ½ M v2 + ½ I ω2

Dato che ω = v / r, l'energia cinetica K può essere scritta:

K = ½ M v2 + ½ I (v / r)2 = ½ M v2 (1 + 1 / M r2)

Un disco ed un anello hanno stesso raggio e massa. Entrambi scendono rotolando dalla sommità dello stesso piano inclinato. Nello stesso istante parte una slitta che scivola con attrito trascurabile dalla stessa altezza h di un piano inclinato identico. I tre oggetti arrivano al fondo del piano inclinato ..
  1. assieme
  2. prima il disco, poi l'anello, infine la slitta
  3. prima la slitta, poi il disco, infine l'anello
  4. prima l'anello, poi il disco, infine la slitta

I tre corpi partono dalla stessa altezza, quindi hanno la stessa energia potenziale gravitazionale che, in fondo al piano, si è tutta trasformata in energia cinetica.

Nel caso della slitta l'energia cinetica è tutta di traslazione, per il disco e l'anello invece parte dell'energia cinetica è anche di rotazione. L'energia di rotazione è maggiore per l'anello che ha maggiore momento di inerzia.

Ne consegue che la slitta è più veloce, seguita dal disco e dall'anello, che è il più lento di tutti. L'ordine d'arrivo è quindi slitta, disco, anello.

Un'ultima considerazione: non deve meravigliare che si sia applicato il principio di conservazione dell'energia meccanica anche in presenza di attrito, necessario per il moto di rotolamento. Si tratta infatti di attrito statico, che fa lavoro nullo. L'unica forza che fa lavoro è la forza peso, che è conservativa.