Relatività ristretta

Intervallo invariante

A volte capita di sentir riassumere la teoria della relatività con l'espressione tutto è relativo. L'espressione è superficiale e profondamente sbagliata. Basterebbe rileggere il principio di relatività di Galileo che rimane invariato nella relatività di Einstein: Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali. Come spesso succede, siamo interessati a ciò che rimane costante più che a ciò che varia. L'attenzione è rivolta alle grandezze invarianti. Fra queste c'è naturalmente la velocità della luce nel vuoto che ha lo stesso valore in tutte le direzioni e in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il problema è che le grandezze invarianti non sono quelle che il senso comune farebbe supporre. In definitiva, su cosa concordano gli osservatori di due sistemi di riferimento inerziali? Riprendiamo l'esempio dell'orologio a luce e consideriamo la separazione spaziale e la separazione temporale tra i due eventi PARTENZA e ARRIVO del raggio di luce.

orologio_luce (13K) percorso_luce (18K)

Nel riferimento solidale all'orologio si ha che i due eventi hanno:

Separazione temporale T0 = 2 d /c

Separazione spaziale nulla

T0 è l'intervallo di tempo proprio

Nel riferimento in cui l'orologio è in moto con velocità v i due eventi hanno:

Separazione temporale T = 2 L /c

Separazione spaziale è s = 2 x (tratto percorso dall'orologio nel tempo T)

T non è un tempo proprio (il tempo proprio è quello misurato tra due eventi con separazione spaziale nulla)

Se l'orologio a luce fosse posto su un treno con velocità v' diversa da v le misure di tempo e spazio cambierebbero ancora da un riferimento all'altro. Quale, tra le seguenti misure di spazio e tempo, è invariante nei diversi sistemi di riferimento inerziali in moto uniforme l'uno rispetto all'altro?

la separazione temporale tra i due eventi
la separazione spaziale tra i due eventi
lo spazio percorso dalla luce
la distanza tra i due specchi dell'orologio

La distanza tra i due specchi dell'orologio non subisce variazioni in quanto è perpendicolare alla direzione del moto: essa è una quantità invariante. Vediamo di esprimerla in funzione delle altre grandezze che dipendono dal riferimento. Con una semplice relazione pitagorica si ha:

intervallo1 (4K)
RiferimentoDistanza percorsa dalla luceDistanza percorsa dall'orologio (separazione spaziale)
Solidale all'orologio2 d0
In moto relativo a velocità v2 Ls = 2 x
In moto relativo a velocità v'2 L's' = 2 x'

La relazione che esprime d può essere scritta: intervallo2 (8K) e, moltiplicando tutto per 2, abbiamo:

intervallo3 (5K)

Questa grandezza si chiama intervallo invariante. Esso tiene conto sia della separazione spaziale, sia della separazione temporale tra due eventi. Si ottiene facendo la radice della differenza tra due quadrati: la distanza percorsa dalla luce nella separazione temporale e la separazione spaziale.

L'intervallo invariante rappresenta la distanza percorsa dalla luce in un intervallo di tempo proprio.

Copyleft Ludovica Battista

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