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Equazione di Schroedinger
Il dualismo onda-particella crea nuovi e gravosi problemi: un'onda descrive una grandezza di campo che oscilla nello spazio e nel tempo. Nella fisica classica ci sono diversi esempi di onde meccaniche ed elettromagnetiche e per ognuna di esse è possibile individuare una grandezza oscillante. L'equazione di un'onda è una funzione oscillante dello spazio e del tempo: è naturale chiedersi quale sia la grandezza che oscilla per le onde di materia associate al comportamento dei corpuscoli.
| Tipo di onda | Grandezza oscillante (nel tempo e nello spazio) |
| Onde che si propagano su una corda | spostamento di un elemento di corda |
| Onde sonore | densità oppure pressione del mezzo di propagazione |
| Onde elettromagnetiche | campo elettrico (e campo magnetico collegato) |
| Onde di materia | ? |
Nel 1926 Erwin Schrödinger descrisse, tramite un'equazione differenziale, una funzione d'onda Ψ per i corpuscoli materiali.
Un'equazione differenziale è un'equazione in cui compaiono le derivate di una funzione. Risolvere un'equazione differenziale significa determinare la funzione.
Nello stesso anno, il tedesco Max Born propose di interpretare la funzione d'onda Ψ (che è una funzione di variabile complessa) come onda di probabilità.
Nella fisica quantistica l'onda associata ad una particella va intesa come un'onda di probabilità oscillante nel tempo e nello spazio nella quale, ad ampiezza maggiore, corrisponde una maggiore probabilità di trovare la particella. La probabilità p che una particella di materia si trovi, nell'intervallo di tempo dt, in una zona di spazio di volume dV è proporzionale al quadrato della funzione d'onda:
La probabilità fa quindi il suo prepotente ingresso anche nel campo della teoria dei quanti, mettendo seriamente in crisi la visione deterministica della meccanica classica. L'interpretazione probabilistica della funzione d'onda materiale mina alle fondamenta il mondo deterministica classico secondo cui è teoricamente possibile, conoscendo la condizioni iniziali e le leggi del moto, prevedere l'evoluzione nel tempo di un sistema fisico.
Una volta conosciute le condizioni iniziali, sono possibili diverse evoluzioni temporali di un fenomeno: la funzione d'onda Ψ permette di calcolare quali configurazioni sono maggiormente probabili.
Se l'onda decritta dall'equazione di Schroedinger ha la forma di un pacchetto d'onda come quello rappresentato in figura (un pacchetto d'onda è formato dalla sovrapposizione di più onde di lunghezza d'onda leggermente diversa), esso rappresenta una particella localizzata in una certa zona di spazio di larghezza x. La particella ha maggiori probabilità di trovarsi dove l'ampiezza è maggiore. Nota che oltre un certo valore di x, l'ampiezza dell'onda di probabilità scende a zero.
Invece un'onda progressiva ha una lunghezza d'onda determinata e rappresenta una particella con una quantità di moto determinata (la quantità di moto dipende dalla lunghezza d'onda) che può trovarsi in un punto qualunque dello spazio. L'onda progressiva infatti, a differenza di un'onda stazionaria, non ha ventri o nodi, ma ha la stessa ampiezza in ogni punto.
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