Relatività ristretta

Quantità di moto

Un protone si muove ad una velocità vp = 0,90 c rispetto ad un sistema di riferimento e urta un elettrone immobile nello stesso sistema. Poichè il bersaglio è molto leggero, dopo l'urto il protone prosegue quasi indisturbato ad una velocità wp = 0,89 c. Qual è la velocità dell'elettrone dopo l'urto?
DatiRichieste
me = 9,11 10-31 kg massa dell'elettronewe velocità dell'elettrone dopo l'urto
mp = 1,67 10-27 kg massa del protone
vp = 0,90 c velocità del protone prima dell'urto
wp = 0,89 c velocità del protone dopo l'urto

Se applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto si ha che la quantità di moto iniziale si deve mantenere subito dopo l'urto e quindi:

mp vp = mp wp + me we

we = mp(vp - wp) / me = 1,83 c

Con le leggi della fisica classica, pertanto, l'elettrone dovrebbe acquistare una velocità maggiore di quella della luce, non ammessa nella fisica relativistica. Le leggi di conservazione, però, continuano ad essere valide nella fisica relativistica a patto di ridefinire quantità di moto ed energia.

La corretta relazione per il modulo della quantità di moto di un corpo di massa m e velocità v è:

p = γ m v

dove γ è il fattore di dilatazione dei tempi

Applichiamo di nuovo la legge di conservazione della quantità di moto dopo aver calcolato i fattori di dilatazione per il protone prima e dopo l'urto e lasciando come incognita γ il fattore di dilatazione per la quantità di moto dell'elettrone dopo l'urto:

2,29 mp vp = 2,19 mp wp + γ me we

γ we = mp(2,29 vp - 2,19 wp) / me

La quantità γ we può essere scritta come γ β c, con β fattore di velocità:

γ β c = 207 c

γ β = 207

Dall'ultima relazione si ottiene che β è circa 1. L'elettrone pertanto schizza via a velocità prossima (ma mai superiore) a quella della luce.


Copyleft Ludovica Battista

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