Campi elettrici

Simmetria piana: campo elettrico uniforme

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Una superficie piana carica in modo uniforme genera un campo uniforme con linee perpendicolari alla superficie: il valore dell'intensità del campo elettrico generato da una superficie uniformemente carica si può determinare a aprtire dalla legge di Gauss, uno dei 4 pilastri dell'elettromagnetismo.

L'intensità del campo E è costante in ogni punto e quindi non dipende dalla distanza dalla piastra carica. Per essere precisi le linee del campo si piegano un pò presso i bordi della superficie, ma noi qui presupponiamo di avere una piastra infinita, o comunque molto estesa rispetto alle altre distanze.

Problema: Quanto vale l'intensità del campo elettrico creato da una superficie piana caricata positivamente con una densità superficiale σ?

Certamente il campo elettrico dipende dalla carica sulla piastra, o meglio dalla densità superficiale di carica: più la carica è densa, più elevato sarà il valore del campo elettrico circostante.

Per determinare l'intensità di E con l'aiuto della legge di Gauss, scegliamo una superficie gaussiana immaginaria di opportuna simmetria che contenga al suo interno una parte della superficie carica: possiamo scegliere la superficie di un solido (parallelepipedo o cilindro) con le basi parallele alla superficie stessa.

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Immaginiamo, per esempio un cilindro ha base di area A e altezza h: la legge di Gauss afferma che il flusso attraverso la superficie cilindrica dipende dalla sommatoria delle cariche contenute in essa. La carica all'interno del cilindro si ottiene moltiplicando la densità di carica σ per il valore della superficie A. Quindi:

Φ (E) = Σ qi / ε0 = σ A / ε0

D'altra parte possiamo ottenere il flusso attraverso tutta la superficie cilindrica come somma del flusso attraverso le due superfici di base (di area A) e di quello attraverso la superficie laterale.

Φ (E) = 2 Φbase + Φlaterale

Nessuna linea di campo attraversa la superficie laterale e quindi Φlaterale è nullo. Rimane il flusso attraverso le due basi che sono superfici piane, rappresentabili con un vettore superficie A di direzione parallela e concorde con le linee di campo. (l'angolo tra A e E è nullo). Ricordando la definizione di flusso per una superficie piana si ha: Φbase = E A e quindi:

Φ (E) = 2 E A

Uguagliando le due espressioni ottenute per il flusso si ottiene l'intensità del campo E.

Il campo elettrico creato da una piastra uniformemente carica è uniforme dalle due parti della lamina ed è direttamente proporzionale alla densità di carica superficiale.
E = σ / 2 ε0

Se la piastra è caricata negativamente, l'intensità del campo non varia, ma cambia il verso delle lineee di campo (che entrano nella superficie invece di uscire)

Condensatore

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Un condensatore è un oggetto formato da due piastre (o armature) caricate in modo opposto (stessa densità, ma con segno opposto) poste ad una distanza d e separate da un mezzo isolante (dielettrico). Quanto vale il campo elettrico all'interno del condensatore, se il mezzo isolante è il vuoto?
  1. E = σ / 2 ε0
  2. E = σ / ε0
  3. E = 2 σ / ε0

La piastra positiva crea un campo con linee uscenti, la piastra negativa un campo con linee entranti, quindi i due campi elettrici hanno lo stesso verso e il campo totale all'interno di un condensatore ha valore doppio rispetto a quello che si avrebbe con una singola armatura. Una carica di prova (positiva) sentirà sia la repulsione dell'armatura positiva, sia l'attrazione verso quella negativa e sarà quindi sottoposta ad una forza doppia.

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Se tra le piastre di un condensatore c'è il vuoto, il campo elettrico al suo interno vale

E = σ / ε0

dove σ è la densità di carica sulle armature e ε0 la costante dielettrica del vuoto.

Cosa succede se all'interno del condensatore c'è un mezzo isolante diverso dal vuoto? Qualsiasi mezzo è composto di molecole: se le molecole sono polari, una parte di essa ruota e si allinea al campo elettrico, se sono apolari esse vengono deformate e poi orientate. In tutti e due i casi (ma maggiormente nel caso di molecole polari) il campo elettrico diminuisce di valore rispetto a quello che si sarebbe ottenuto nel vuoto.

Dal punto di vista macroscopico, si tiene conto di questo effetto introducendo una costante dielettrica relativa εr per ogni mezzo isolante. La costante dielettrica relativa è un numero puro per il quale bisogna moltiplicare la costante dielettrica del vuoto ε0.

dielettricocostante dielettrica relativa εr
vuoto1
aria1,0006
carta3,7
mica5,4
acqua80

Con il vuoto si ha la costante dielettrica minore e quindi il massimo campo elettrico possibile


Copyleft Ludovica Battista

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