Termodinamica

Energia interna

cubo (9K)

L'energia interna U di un gas è data dalla somma di tutte le energie cinetiche delle particelle (in un gas perfetto si assume che l'energia potenziale sia nulla) e inoltre, se le molecole sono rappresentabili come punti materiali, l'energia cinetica è solo energia di traslazione.

La traslazione è un moto d'insieme in cui tutte la parti di un corpo compiono lo stesso spostamento nello spazio tridimensionale e può essere scomposta in 3 direzioni spaziali indipendenti. Si dice che la traslazione ha 3 gradi di libertà

Una molecola monoatomica può essere bene schematizzata come un punto materiale e possiede quindi 3 gradi di libertà.

Se si considerano molecole più complesse dotate di una loro struttura interna, si deve conseguentemente tener conto di altri tipi di energia cinetica legati ad altri moti come la rotazione o la vibrazione. Una molecola più complessa ha quindi più gradi di libertà.

L'energia cinetica media di traslazione è, per definizione, la media aritmetica di tutte le energie cinetiche delle particelle microscopiche. Con N particelle di massa m, dotate di velocità v1 .. vN, l'energia cinetica media di traslazione è:

formula8 (8K)

Sostituendo alla velocità quadratica media l'espressione formula7 (2K), si ottiene:

formula9 (7K) dove k è la costante di Boltzmann.

L'ultima relazione evidenzia un fatto importante: l'energia cinetica media traslazionale di un gas perfetto dipende solo dalla temperatura e non dal particolare tipo di gas (è scomparsa infatti la massa molare M).
Considera una mole di un gas monoatomico ideale a 300 K. Calcola l'energia cinetica media di traslazione delle molecole e l'energia interna del gas.
Dati del problemaRichieste
n = 1 molnumero di moliKenergia cinetica media di traslazione
T = 300 Ktemperatura del gasUenergia interna del gas
Gas monoatomico

L'energia cinetica media di traslazione si calcola direttamente con la relazione appena vista formula_traslazione (1K) = 6,21 10-21 J

L'energia interna U di un gas ideale monoatomico è data dalla somma di tutta l'energia cinetica di traslazione e si ottiene quindi moltiplicando l'energia cinetica media per il numero N di particelle.

U = 3/2 N k T = 3/2 N R / NA T = 3/2 n R T = = 3739,5 J

L'energia interna U di un gas ideale dipende solo dalla temperatura e dal numero delle moli. Una mole di un qualunque gas perfetto monoatomico a 300 K ha un'energia interna di 3739,5 J

Mettiamo a confronto le due espressioni trovate per l'energia, a livello microscopico e macroscopico:

formula_traslazione (1K) Energia cinetica media di una molecola (grandezza microscopica)
formula_energia_monoatomico (1K) Energia interna di n moli di un gas monoatomico (grandezza macroscopica)

Si noti:

isoterrme (26K)

In un diagramma pressione-volume un ramo di iperbole caratterizza una particolare isoterma ed è associato ad un determinato valore della temperatura e dell'energia interna.

L'energia interna è una funzione di stato: il suo valore dipende solo dalla temperatura assoluta: a tutti gli stati in cui il gas ha una determinata temperatura, corrisponde l'identico valore di energia interna.
I diagrammi rappresentati sono relativi ad una mole di un gas perfetto. Supponendo che il gas sia monoatomico calcola l'energia interna relativa alle tre isoterme e la variazione dell'energia interna quando il gas compie una trasformazione da un qualunque stato dell'isoterma più bassa (T = 300 K) ad un qualunque stato dell'isoterma più alta (T = 800 K).
Dati del problemaRichieste
T1 = 300 Ktemperatura dell'isotema più bassaU (T1)energia interna alla temperatura T1
T2 = 500 Ktemperatura dell'isotema intermediaU (T2)energia interna alla temperatura T2
T3 = 1000 Ktemperatura dell'isotema più altaU (T3)energia interna alla temperatura T3
n = 1 molnumero di moliΔUvariazione di energia interna in una qualunque trasformazione da T1 a T3
Gas monoatomico

Il calcolo delle 3 energie è immediato:

U(T1) = 3/2 mol 8,31 J K-1mol-1 300 K = 3739,5 J

U(T2) = 3/2 mol 8,31 J K-1mol-1 500 K = 6232,5 J

U(T3) = 3/2 mol 8,31 J K-1mol-1 1000 K = 12 465,0 J

e quindi ΔU = U(T3) - U(T1) = 8725,5 J

Dal momento che l'energia interna è la stessa per ogni punto dell'iperbole, la variazione di energia interna del gas per andare da uno stato a temperatura 300 K ad un altro stato a temperatura 1000 K sarà sempre la stessa, indipendentemente dal tipo di trasformazione seguita.

L'energia interna varia solo se in una trasformazione c'è una variazione di temperatura. Possiamo scrivere:

formula_deltaU (2K)

Copyleft Ludovica Battista

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