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Energia elettrica in un campo radiale
Come abbiamo visto, una carica puntiforme Q genera un campo a simmetria radiale: tutte le linee di campo nascono (escono o entrano) nel punto in cui si trova la carica sorgente. La direzione del campo è centrifuga se la carica Q è positiva, centripeta se è negativa. Il campo radiale non è uniforme nello spazio, ma l'intensità (e la densità delle linee di campo) diminuiscono man mano che ci si allontana dalla sorgente.
Mediante la legge di Gauss si determina il valore E(d) del campo in un punto P qualunque dello spazio a distanza d dalla carica sorgente:
con k = 1 / 4 π ε0 = 9 109 Nm2/C2
Una carica q in un campo radiale E è sottoposta all'azione della forza elettrica F = q E cui è associata l'energia potenziale elettrica U. L'energia potenziale è dovuta all'interazione della carica con il campo ed è quindi attribuibile alla carica ed al campo.
Considera un campo elettrico radiale creato da una carica Q positiva: una carica positiva che si trova in tale campo viene respinta dalla sorgente con una forza che ha lo stesso verso del campo elettrico, una carica negativa viene attratta dalla sorgente con una forza che ha verso contrario al campo. In ambedue i casi le cariche accelerano acquistando energia cinetica K e quindi diminuendo l'energia potenziale U: il moto spontaneo avviene sempre nella direzione in cui l'energia potenziale diminuisce.
Come abbiamo più volte ripetuto, l'energia potenziale U non è una grandezza di campo perché dipende dalle cariche poste nel campo.
Per determinare la variazione di energia potenziale ΔU di una carica q che si sposta tra due punti del campo, bisogna calcolare il lavoro del campo eseguito durante lo spostamento della carica da un punto iniziale A a quello finale B. La relazione è quella conosciuta:
LAB = - ΔU = U(A) - U(B)
Questa volta però abbiamo un problema: il calcolo del lavoro non è elementare perché la forza non rimane costante durante lo spostamento. Questo calcolo necessita dell'analisi infinitesimale o di un calcolo numerico approssimato: si divide lo spostamento in tratti ds molto piccoli (teoricamente degli infinitesimi) e si calcola per ogni tratto il lavoro parziale dL (infinitesimo) eseguito durante il tratto ds supponendo che la forza elettrica F non sia cambiata in modo apprezzabile.
Il lavoro totale L è la somma di tutti questi contributi infinitesimi dal punto iniziale A al punto finale B dello spostamento. Nell'analisi infinitesimale la somma di infini.tesimi si chiama somma integrale
L'analisi fornisce il seguente risultato:
dove k = ¼ π ε0, Q è la carica sorgente, dA e dB sono le distanze dei punti A e B dalla sorgente.
Questa relazione fornisce la differenza U(A) - U(B) dell'energia potenziale tra due posizioni A e B del campo. Per avere il valore dell'energia U in un punto, occorre stabilire un livello zero. Scegliendo un livello zero posto a distanza infinita dalla sorgente, si ottiene che l'energia elettrica U associata a due cariche Q e q poste a distanza d è:
Si noti l'analogia con l'energia potenziale gravitazionale di due masse M e m poste a distanza d
L'energia potenziale elettrica associata a due cariche è positiva se le cariche hanno lo stesso segno, negativa se le cariche hanno segno opposto. L'energia potenziale negativa è caratteristica delle forze attrattive (come la forza gravitazionale).
Una distanza infinita in fisica è semplicemente una distanza molto grande dove gli effetti del campo sono praticamente trascurabili.
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Copyleft Ludovica Battista