Corrente continua

Legge del nodo

circuito_par (4K)      circuito_par2 (3K)

Consideriamo il circuito in figura (le due figure sono equivalenti) formato da un generatore ideale di forza elettromotrice ε e tre resistenze di valore R1, R2 e R3 collegate in parallelo.

Due o più resistenze si dicono collegate in parallelo se ai loro capi c'è la stessa differenza di potenziale.

Sia ΔV la differenza di potenziale tra il punto A e il punto B. Nel circuito sono presenti due nodi in cui la corrente principale si divide nei tre rami contenenti rispettivamente le resistenze R1, R2 e R3.

Determina i valori di tutte le correnti che circolano nei diversi rami del circuito a partire dai dati in tabella.
Dati del problemaRichieste
ε = 100 Vfem del generatoreicorrente principale nel ramo del generatore
R1 = 1200 Ωresistenza R1i1corrente nel ramo di R1
R2 = 2000 Ωresistenza R2i2corrente nel ramo di R2
R3 = 500 Ωresistenza R3i3corrente nel ramo di R3

Nel problema ci sono 4 incognite, quindi occorrono 4 relazioni indipendenti. Come sappiamo, nella risoluzione dei circuiti si utilizzano le due leggi di Kirchhoff: la legge del nodo e la legge della maglia. Se la legge della maglia è una legge di conservazione dell'energia, quella del nodo è un modo di esprimere la legge di conservazione della carica elettrica. La legge del nodo dice in sostanza che la carica non si crea nè si distrugge e quindi che la corrente che entra in un nodo deve essere uguale alla corrente che ne esce.

Legge del nodo: La somma algebrica delle correnti che attraversano un nodo è zero.

Convenzione dei segni per le correnti: una corrente è positiva se esce dal nodo, negativa se entra nel nodo.

Percorriamo il circuito in verso orario. Qual è il segno delle correnti nel nodo A?
  1. i positiva, i1, i2, i3 negative
  2. i negativa, i1, i2, i3 positive

Per la legge del nodo si ha: - i + i1 + i2 + i3 = 0 cioè i = i1 + i2 + i3.

Applichiamo la legge della maglia alla maglia che contiene il generatore e una delle resistenze, per esempio la resistenza R1, percorrendo il circuito in senso orario:

ε - ΔV = 0

Poichè le resistenze sono in parallelo, la caduta di potenziale è la stessa ai capi di tutte e tre le resistenze:

ΔV = i1 R1 = i2 R2 = i3 R3

Dalla relazione ε - i1 R1 = 0 si ottiene i1 = ε / R1

Dalla relazione ε - i2 R2 = 0 si ottiene i2 = ε / R2

Dalla relazione ε - i3 R3 = 0 si ottiene i3 = ε / R3

Naturalmente la corrente che circola in ogni ramo è inversamente proporzionale alla resistenza del ramo. Sostituendo i dati in tabella si ha:

i1 = 0,08 Ai2 = 0,05 Ai3 = 0,20 Ai = 0,33 A
Abbiamo visto che le resistenze collegate in serie si sommano. Qual è la resistenza equivalente alle tre resistenze in parallelo?

Mettendo insieme le quattro relazioni sulle correnti, si ha:

i = i1 + 12 + 13 = ε/R1 + ε/R2 + ε/R2 = ε (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

i = ε / Req

Due o più resistenze collegate in parallelo equivalgono ad un'unica resistenza Req tale che

1 / Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ...

La resistenza equivalente del parallelo del circuito in esame è:

Req = 300 Ω

La resistenza equivalente ad un parallelo è minore di ogni resistenza del parallelo!


Copyleft Ludovica Battista

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